留数定理を応用した定積分

質問

m, n を偶数とするとき, ∫[0→2π] sin^m(θ) dθ, ∫[0→2π] cos^n(θ) dθ, を計算する問題が解けません。
三角関数の積分で区間が, [0→2π] の例題が参考書に１問だけあって、その問題は解けたのですがこの問題に応用できません。
できれば途中の考え方と答を教えてください、よろしくお願いします。

回答No.4

stomachman · ベストアンサー

z=e^(iθ)
とおくと
　　cosθ=(z+1/z)/2, sinθ=(z-1/z)/(2i), dz/dθ=iz
なので、勝手な関数f(cosθ,sinθ)について
　　∫[θ=0～2π]f(cosθ,sinθ)dθ = (1/i)∫[C]f((z+1/z)/2,(z-1/z)/(2i))/z dz （積分路Cは単位円を反時計回り。）

　ご質問では、f(x,y)=x^mの場合とf(x,y)=y^nの場合とをお求めである。たとえば、(cos(θ))^m (mは自然数)の積分ならf(x,y)=x^mだから、
　　f((z+1/z)/2,(z-1/z)/(2i))/z = (((z+1/z)/2)^m)/z
のz=0での留数を計算しろってことですね。こりゃもう、まじめにLaurent展開をやって-1次の係数を出すだけです。
　　(((z+1/z)/2)^m)/z = ((2^(-m))/z)((z+z^(-1))^m)
第2因子を二項展開して、
　　= ((2^(-m))/z)Σ{k=0～m} (mCk)(z^k)(z^(k-m))
　　= (2^(-m))Σ{k=0～m} (mCk)(z^(2k-m-1))
だから、2k-m-1=-1となるのは
　　mが奇数なら、そんなkはないわけで、つまりz^(-1)の係数は0。
　　mが偶数なら、k=m/2のとき。つまりz^(-1)の係数は
　　(2^(-m))(mC(m/2))
　　=(2^(-m)) m!/((m/2)!^2)
これが(m-1)!!/m!!と一致することを確認して下さいな。

お礼

sin と cos, どちらも z = 0 における留数 = (m-1)!!/m!!, が確認できました。
この解きかたを目指していたので、やっと解決した気分です。
ありがとうございました。

回答No.3

info22_

#2です。

A#2の補足質問について

>参考URLで, I = -{i/2^(2n)} * {2πi/(2n)!} * f^(2n)(0), までは理解できましたが,

>= -{i/2^(2n)} * 2πi * {(2n)!/(n!)^2}, となる理由がよくわかりません。

>f^(2n)(0) = {(2n)!/n!}^2, を証明しようとしましたが、数学的帰納法でうまくいきませんでした。

f^(2n)(0) = {(2n)!/n!}^2
これは以下のようにすれば導けます。

これはf(z)のをzで2n回微分した式でz=0とおいた式、
つまり f^(2n)(z)の定数項
になります。

f^(2n)(0) = (d/dz)^(2n){(1+z^2)^(2n)} の定数項
ということです。

２項定理の展開公式より
(1+z^2)^(2n)=1+(2n)C1 z^2+(2n)C2 z^4+ ... + (2n)Cn z^(2n) + ...

これを2n回微分した時の定数項は
(2n)Cn z^(2n)の項の2n回微分した項が定数項になることはわかりますか？

2n回微分すると(2n)!が出ますので

f^(2n)(0) =(2n)Cn (2n)!
={(2n)!/(n!)^2}(2n)!
={(2n)!/n!}^2

>f^(2n)(z) が求められれば, z = 0 を代入して解決するのですが、やはりうまくいきません。

f(z)=(1+z^2)^(2n)の２項展開において
2n回微分すれば z^(2n-2)次以下の項は消えます。
z^(2n+2)次以上の項はzが残りますがz=0を代入すると消えます。
残るのは　z^(2n)次の項が定数項となって残ります。
定数項なのでz=0を代入しても残ると言うことで
f^(2n)(z)の(2n)回微分した全ての項を求める必要はなく、
z^(2n)次の項{(2n)Cn}z^(2n)
の2n回微分した時の係数(定数項)
{(2n)Cn}(2n)!
だけ求めれば良いということです。

お礼

f^(2n)(0) = {(2n)!/n!}^2 となる理由が納得できました。
最初は留数定理を使って解くつもりでしたが、新しい定理を覚えることができました。
ありがとうございました。

回答No.2

info22_

m=2kとおくと
sin^m(θ)={sin^2(θ)}^k={1-cos(2θ)}^k/2^k
∫[0→2π] sin^m(θ) dθ
=2^(-k)∫[0→2π] {1-cos(2θ)}^k dθ
θ→θ-π/2と変数変換すると
=2^(-k)∫[-π/2→3π/2] {1-cos(2θ-π)}^k dθ
=2^(-k)∫[-π/2→3π/2] {1+cos(2θ)}^k dθ
{1+cos(2θ)}^kは周期πの周期関数なので、2周期[-π/2→3π/2]にわたる積分と
同じ２周期[0→2π]にわたる積分は等しいから
=2^(-k)∫[0→2π] {1+cos(2θ)}^k dθ
=2^(-k)∫[0→2π] {2cos^2(θ)}^k dθ
=∫[0→2π] {cos(θ)}^(2k) dθ
=∫[0→2π] {cos(θ)}^m dθ
となって、
∫[0→2π] sin^m(θ) dθ=∫[0→2π] {cos(θ)}^m dθ
が導ける。

∫[0→2π] {cos(θ)}^m dθ
の積分については
参考URLの例51にそっくり載っている。
それによればm=2k,n=2hで置き換えればよい。
∫[0→2π] {cos(θ)}^n dθ=2π(2k-1)!!/(2k)!!
∫[0→2π] {sin(θ)}^m dθ=∫[0→2π] {sin(θ)}^(2h) dθ
=2π(2h-1)!!/(2h)!!

#1さんがお書きの結果の式と同じになります。

参考URL：

http://fujimac.t.u-tokyo.ac.jp/fujiwara/Mathematics-2/Ch7.pdf

お礼

解説と参考URL情報をありがとうございました。

∫[0→2π] sin^m(θ) dθ = ∫[0→2π] cos^m(θ) dθ, となるのはわかりました。
参考URLで, I = -{i/2^(2n)} * {2πi/(2n)!} * f^(2n)(0), までは理解できましたが,
= -{i/2^(2n)} * 2πi * {(2n)!/(n!)^2}, となる理由がよくわかりません。
f^(2n)(0) = {(2n)!/n!}^2, を証明しようとしましたが、数学的帰納法でうまくいきませんでした。
f^(2n)(z) が求められれば, z = 0 を代入して解決するのですが、やはりうまくいきません。

回答No.1

Ae610

∫[0→2π]{sin^m(θ)}dθ, ∫[0→2π]{cos^n(θ)}dθ

漸化式作って求められると思うのだが・・・、

複素変数でやろうとすると・・・、
e^(iθ) = z
・・・と置いてsin^m(θ) , cos^n(θ)をzの式で表してグルサーの定理を使えば求められると思う・・！

因みに計算してみると・・・
∫[0→2π] {sin^m(θ)}dθ = ((m－1)!!/m!!)・2π　（mは偶数）
∫[0→2π] {cos^n(θ)}dθ = ((n－1)!!/n!!)・2π　（nは偶数）

お礼

回答をありがとうございました。

漸化式で求めるのは簡単ですが、複素解析の問題なので留数定理を応用して解きたいと思います。
∫[0→2π] sin^m(θ) dθ では, f(z) = {(z^2 - 1)^m}/z^(m + 1) の極 z = 0 における留数,
∫[0→2π] cos^n(θ) dθ でも, g(z) = {(z^2 + 1)^n}/z^(n + 1) の極 z = 0 における留数,
の求め方がわからずに答が出ませんでした。