点と線について

質問

ユークリッド幾何学によると

点とは位置だけをもち、部分をもたないものである。

線とは幅のない長さである。

とありますが、どんな長さの線上にも無数に点が存在しているということはわかりますが、ではなぜ長さのない点が集まると線になるんですか？

似たような疑問で、円とはある点からの一定距離の点の集合であるというのも、疑問です。

誰かお願いします！

回答No.1

atomonados

＞ではなぜ長さのない点が集まると線になるんですか？

　長さのない点が集まって線になると言うのは私もおかしいと思います。長さ0をいくら足しても0のままですからね。
　長さの微小量が集まると言うのなら分かります。すなわちこのようにいうときは，点は位置ではなく，（また無限小の大きさの点というのでもなく）微小だけれども有限な大きさをもったものです。

　人が何かを認識する場合に，認識の形式というものを持っていると考え方があります。人には認識の形式をいろいろ持っていて，その都度，実用的な認識に切り替えています。
　そして一度に多数の形式を用いることはできない。或いは困難であるようです。だからある一つの形式を用いて見る姿が現れている時には，別の形式による姿は隠れてしまいます。

　「点は位置である」という認識形式と「点は微小量の長さをもつ線である」という認識形式の違いは先ほど述べました。これらを一つの形式の中にまとめようとすると，ご質問の矛盾が生じます。この矛盾を認識対象から取除くために，どうしたかというと，認識の機構そのものに始めから矛盾の構造を持たせて理解するのです。

　線についても「(有限大の微小)点の集合」という認識形式と，「部分に分割されないもの」という認識形式があります。
　これはちょっと分かりにくいと思いますので，たとえ話をすると，映画の静止画と動画の関係です。静止画が連続的に再生されたとき，私たちが見る映像は滑らかになっていて，登場人物などは決して時間の中で切れ切れに分かれる存在としては認識しません。これは物理現象的に捉える形式のほかに，一人の人間として捉える形式を人は持っているということです。つまり，多でなく一で捉える形式です。認識形式は，多を見れば一が消え，一を見れば多が消えるような関係になっているのです。

＞似たような疑問で、円とはある点からの一定距離の点の集合であるというのも、疑問です。

　「円とはある点から一定の距離にある（微小有限大の）点の集合」という定義は一つの認識形式です。それに対して「円とはある点から等距離に広がる閉じた曲線である」という定義（即席で作りましたので厳密でないかもしれませんが）をするような認識形式があるということです。

　認識形式の矛盾で有名な例を思い出しました。天動説と地動説です。太陽が地球の周りをまわっているのか，地球が太陽の周りをまわっているのか。二つの見方を合体してしまうと矛盾ですが，それぞれに正しい。そして，天動説で見るときには地動説の見方では見えず，地動説の見方をする時には天動説の見方ができません。こういう訳です。