微積分の問題です。

質問

x^2+(y+z)^2≦1,0≦y≦1/2ので表される体積を求めよ。という問題が分かりません。z-x平面で円の中心が変わってしまうので単純に面積πのもとyを0→1/2として積分してよいのかという疑問があります。ぜひご回答お願いします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

y軸に垂直な平面群でスライスして考えたのですね。
それでいいんですよ。
体積 = ∫(断面積)d高さ で計算するとき、
この式は、円の中心が動くとか動かないとか以前に、
断面が円でなくても、どんな形でも
面積が解れば使えますよね？

「カバリエリの原理」といって、
体積とは何かを定式化する際に重要な公理により、
断面の円を動かしても体積は変わりません。

お礼

遅れてしまい申し訳ありません。すごくスッキリしましたありがとうございます。

回答No.2

yyssaa

ANo.1の回答で教えられて、カヴァリエリの原理を
下記のサイトで見てみました。
分かり易く面白い説明があるので、ご参考までに。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%83%AA%E3%82%A8%E3%83%AA%E3%81%AE%E5%8E%9F%E7%90%86