正負の乱数をいくつか合計する過程でとる最大値

質問

正負の乱数100個の値の合算値を求める、という作業を何度も繰り返し
それぞれの合算値の平均を求めるとゼロになると思いますが、
100個合算する過程での最大値（絶対値）はどの程度になるのか
というのを求めるにはどのようにすれば知りたいです。

例えば、-3、-2、-1、0、+1、+2、+3という7つの目を持つサイコロを使って
すごろくをするとします。
すごろくも特殊な物で、スタートからプラス50マス進んだところにゴール（天国）があり
スタートからマイナス50マス進んだところにもゴール（地獄）があるものとします。
ゴールにはピッタリ止まる必要はなく到達すればゴールとします。

１）サイコロを100回振った場合にゴール（天国または地獄）に到達できる確率を
求めるにはどうすればよいでしょうか？

２）ゴールを無くしてプラス方向マイナス方向ともに無限大のすごろくとしたとき、
サイコロを100回降った場合に平均でどのくらいまで（一瞬でも）進むことができる
のでしょうか。

計算がややこしければ0のない-3、-2、-1、+1、+2、+3の6つの目のサイコロでも
構いませんし、-1、+1の2つの目のサイコロでも構いません。

以上、よろしくお願いします。

回答No.2

nag0720 · ベストアンサー

-1、+1の2つの目のサイコロの場合

サイコロをk回振ったとき、目の合計がmになる確率をp(k,m)とする。
ただし目の合計が±50に達したらそれ以上は可算しないこととする。
mの範囲は、-50≦m≦50

初期値は、
p(0,0)=1
p(0,m)=0　(m≠0)
漸化式は、
-48≦m≦48　のとき、
p(k,m)=(1/2)p(k-1,m-1)+(1/2)p(k-1,m+1)
m＝49,50,-49,-50　のとき、
p(k,49)=(1/2)p(k-1,48)
p(k,50)=(1/2)p(k-1,49)+p(k-1,50)
p(k,-49)=(1/2)p(k-1,-48)
p(k,-50)=(1/2)p(k-1,-49)+p(k-1,-50)

p(100,50)とp(100,-50)が求める確率です。

エクセルなどの表計算ソフトが使えるならこれらの式をセルの計算式に設定すればいいでしょう。
プラグラムが組めるならそれでもいいし。

６つの目や７つの目のサイコロの場合でも同じようにすればできます。

お礼

ありがとうございます。
簡略化して-1、+1の2つ目のサイコロ（コイン）を10回振って±5マスのところにあるゴールを目指すということにし、書いて頂いた計算式で計算していくと、どちらかのゴールに到達する確率は256分の56となりました。
おそらくこれで合っていると思います。

回答No.3

noname#175206

>、-1、+1の2つの目のサイコロでも構いません。

　一番単純な、この2種類（コインの裏表で可）で考察されるといいでしょう。

　これは、既に研究されているもので、「パスカルの三角形」と呼ばれたりします。

「パスカルの三角形」（ウィキペディア）
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%91%E3%82%B9%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%81%AE%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2

　そこの、「三角形」のところに、単純な10段までが示されています。各々の段に書かれている数字が、そこに至る経路数の総和です。

　左右どちらを選ぶを半々の確率で選ぶとすると、その段の全ての位置の経路の総和で、ある位置の経路の総和を割れば、その位置への到達確率となります。

　3以上の分岐、等しくない確率の経路選択選択、等々を、これを踏み台に考察されてはいかがかと存じます。

お礼

ありがとうございます。
パスカルの三角形は知りませんでした。
簡略化して-1、+1の2つ目のサイコロ（コイン）を10回振って±5マスのところにあるゴールを目指すということにして考えてみました。
パスカルの三角形の左右の端となる±5の列では「真上を2倍した数字＋斜め上の数字」というようにして書いていくと、どちらかのゴールに到達する確率は256分の56となりました。簡単に計算できました。

質問２）のほうももしお解かりでしたらよろしくお願い致します。
-1、+1の2つ目、10回という条件では、10回振り終わったときスタートから平均どれくらい離れるかというのはパスカルの三角形から2.46マスと計算できると思うのですが、行ったりきたりするので各々の試行の最大値は2.46マスより大きくなるとは思うのですがどのように考えたら良いのか悩んでいます。

回答No.1

desolationed

０を抜いた時の考え方、だけでよろしければ。

ゴールにつく確率をP(x)とする。

y軸をすごろくでの位置、x軸をさいころを振った回数としてx-y平面を考え、y=３ｘ、y=２x、y=x、y=-３ｘ、y=-２ｘ、y=-xのグラフを描く。すると、ひし形がいっぱい並んだ街路上の図形ができる。さらに、それぞれのグラフ上の格子点にも同様に傾き±３，２，１のグラフを書いていく。（このグラフ描いたはいいのですが・・・、分けて書いた方が無難かもしれません・・・。というかわけないと目が・・・。）

そして、|y|＝50、ｘ≦100の範囲で何本の直線があるかを数え上げる。

さいころのそれぞれの目の出る確率は、それぞれ六分の一である。

これをｘの座標に対応させて掛ければよい。

本当に原始的なやり方で申し訳ない・・・。

参考までに↓こんな感じで書きすすめていけばなんとかなるかもしれません・・・。

お礼

ありがとうございます。
なるほど図をかけばいいんですね。
一番確実な方法かもしれませんね。