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cosθやsinθの入った微分 （極座標）
KENZOUの回答
u=rcosθ, v=rsinθの式の全微分をとると du＝(∂u/∂r)dr＋(∂u/∂θ)dθ ＝cosθdr－rsinθdθ (1) dv＝(∂v/∂r)dr＋(∂v/∂θ)dθ ＝sinθdr＋rcosθdθ (2) そこで dudv＝(cosθdr－rsinθdθ)(sinθdr＋rcosθdθ) ＝r(cos^2θ－sin^2θ)drdθ ＋cosθsinθ(dr)^2－r^2sinθcosθ(dθ)^2 ≒r(2cos^2θ－1)drdθ (3) ここでdr^2、dθ^2の2次の微小量はカットしました。ところでdu・dvはuv空間での微小面積ですからこれをrθ空間（極座標）に写像した面積(3)も微小面積ですね。すると2辺を挟む角θは微小ですからcosθ≒1と近似することができます。これを(3)に入れると du・dv≒rdrdθ (4) と近似することができ、ご質問の式がでてきます。上の近似の具体的なイメージは＃２のsiegmuntさんが書かれているとおりです。尚、上のようにuv空間の微小面積をrθ空間（極座標）に写像した微小面積への換算係数は＃１のRossanaさんの言われているヤコビアンとなり、この簡単な説明はこのサイトの http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=633126 に載っていますので参照してください。参考URLはヤコビアンの詳しい説明がのっています。
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