ベストアンサー

剰余群の位数

2012/01/16 19:14

Ａ/Ｂの位数って｜Ａ｜/｜Ｂ｜でしょうか？これが成立したら嬉しいのですが、これが成立する条件とかあるのですか？それとも一般的に成り立っているのでしょうか？

hatfield3505
お礼率10% (4/37)

数学・算数
回答数1
ありがとう数1

みんなの回答 （1）
専門家の回答

質問者が選んだベストアンサー

ベストアンサー

ur2c
ベストアンサー率63% (264/416)

2012/01/16 22:42 回答No.1

Lagrange の定理

質問者

お礼 2012/01/21 21:36

確かにその通りですね。これって、軌道とかにも当てはまるんですかね？

関連するQ&A

σの位数および剰余群Ｓ6/〈σ〉の位数

次の置換σを互換の積で表し、その符号を求めたいです。さらに、σの位数および剰余群Ｓ6/〈σ〉の位数を求めたいです。どうぞよろしくお願いします。
群の位数の問題なんですが？

位数が偶数の群は位数２の元を持つんでしょうか？群が位数２ｎの巡回群＜ａ＞ならば　　　　　　　　ａ＾ｎを考えれば位数２の元になります。それ以外に関しては、位数が小さい群ならばなんとなくイメージできるんですが一般の場合どうなるかうまく証明できません。どなたかもしおひまであればお教え願えないでしょうか。よろしくお願いします。
群の位数に関しての問題です。

群Gが２元σ、τを生成要素にもち、その関係が σ^6 = e = τ^2 στ = τσ^5 の時Gの位数を求めるという問題なんですが、一つ目の条件からσはe～σ^5、τはe～τ^1までの値をとるので位数は12かな？と思ったんですが、二つ目の条件をどのように用いたらいいのか分かりません。すみませんがお願いします。
元の位数について

Gを群とし，a,b∈Gとする．このとき， aの位数＝5，aba^-1=b^2，b≠e とするとき，bの位数を求めよという問題です．（答え．31） b^31=eとなることは示せたのですが，位数が31であるということを言うには，31がb^m=eを満たす最小の整数であることを言わないといけませんよね．ここがうまく示せませんでした．よろしくお願い致します・
交代群A4が位数の部分群を持たないことについて

交代群A4が位数6の部分群を持たないことはどうやって示せばよいでしょうか？ヒント：もし位数の部分群を持つとすると，それはA4の正規部分群でなければならない．しかしA4の共役類は1,3,4,4個の元からなるから，位数の部分群は存在しない．ヒントを見てもわかりません．まず位数の部分群を持つとすると，それはA4の正規部分群でなければならないという理由からわかりません．この流れで，証明を書いていただけると助かります．よろしく願い致します．
群Gの元ａの位数

35歳すぎにして、代数学の初心者です。代数における群Gの元aの位数の意味がよくわかりません。位数って群の元の数ですよね？ってことは、元aが位数を持つということは、元aも群だということなのでしょうか？元aは群Gの部分群でないと、元aは位数を持たないのでしょうか？これがわからないので、「群Gの元aの位数がmnならばa^nの位数はmであることを示せ」などといわれても、ちんぷんかんぷんです。どなたか、判りやすく教えていただける方がいましたら、よろしくお願いいたします。
乗群の位数とラグランジェの定理

(mod p)の剰余類で乗群G*をつくるとき，（pは素数） 0を含む剰余類は除くので，|G*|=p-1かと思います． a ∈ G*で，巡回部分群Hを生成すれば， H=G*であることも確認できます．ただ，ここでどうしてもわからないことがあります． G*の位数も，Hの位数もp-1で，-1されるために一般に素数にはなりません．ラグランジェの定理から位数が素数の有限群が真部分群を持たないことがわかりますが， G*の位数は，p-1で素数にならないため，真部分群を持ってもよさそうな気がします．どこに間違いがあるのでしょうか？
群の位数について質問させてください><

群の位数について質問させてください>< 　　　　_ _　　　　_ Z(18)={0,1,・・・,17} について　_ _ _ _ _ _　　　　　_ _ U(Z18)={1,5,7,11,13,17}の元7、13の位数をそれぞれ求めよという問題なのですが、 _ |7|=18/(18,7)=18 と考えたのですが、答えは3でした。どうして3になるのでしょうか？教えて頂けると助かります。
元の位数

Ｇを可換群、a∈Ｇの位数をｎ、b∈Ｇの位数をｍとします。このとき位数がｎ、ｍの最小公倍数である元が存在することを示したいのですがabがその元でしょうか？またそれが正しいときabの位数がｎ、ｍの最小公倍数になることはどのように示したらいいのでしょうか？
位数１２の群Gの問題なんですが・・・

Gを位数１２の群G＝＜a,b＞,a^^6=e,a^^3=b^^2=(ab)^^2とする。Gの元はG={e,a,a^^2,a^^3,a^^4,a^^5,b,ab,a^^2b,a^^3b,a^^4b,a^^5b}でありまた部分群N、Z、Kを次のようにおく。N=＜a＞,Z<a^^3>,K<b>とした時の（１）剰余群G/N、G/Z、N/Zの乗積表を作れという問題なんですがいまいちわかりません。（２）またN,Kの標準的準同型写像ｆ：G→G/Z　ｘ：→ｘZによる像を求めよという問題なんですがよくわかりません。アドバイス頂ければありがたいです。よろしくお願い致します。（Gの乗積表は省略しました。）
Sylowの定理と位数14の群

G：位数14の群 N：Gの7-Sylow部分群 H：Gの2-Sylow部分群とし，写像f：H→Aut(N)をｆ(h)=(n↦hnh^-1) で定める．このとき， (1)Imf={e}⇒Gは巡回群 (2)fが単射⇒Gは二面体群と同型であることを示せという問題なのですが，以下のように示しました． (∵) Sylowの定理より，Gの7-Sylow部分群の個数は1なので，NはGの正規部分群である．またN,Hの位数はそれぞれ7,2なのでともに巡回群となる．よってN,Hの生成元をそれぞれa,bとすると，a^7=e，b^2=e．一方，N∩Hの位数は2と7の公約数であることから1．ゆえにN∩H={e}．したがって G=NH={a^i b^j | a^7=e,b^2=e} (Gの任意の元はN,Hの元で一意に表せる) また，NはGの正規部分群であることから，ある整数mが存在して，bab^(-1)=a^mとなる．ここで， (a^m)^m=(bab^(-1))^m=b(a^m)b^(-1)=(b^2)a(b^(-2))=a すなわち，a^(m^2-1)=eとなるので，m^2-1は7で割り切れる．ゆえにある整数lが存在して， m^2-1=(m+1)(m-1)=7l と書けるので，m=7l±1． (1) m=7l+1のとき bab^(-1)=a^m=a^(7l+1)=a ∴ab=ba よってGはN,Hで直積分解でき， G≒N×H≒Z/14Z （≒は同型の意）ゆえにGは巡回群． (2) m=7l-1のとき bab^(-1)=a^m=a^(7l-1)=a^(-1) よってGは二面体群と同型． (証明終) こんな感じで(1),(2)を一気に示したのですが，(1),(2)の仮定を一切使っておりません．(1)については別個に仮定を使って示せましたが，(2)はどこで仮定を使ってよいかわかりませんでした．ご教示願います．
代数学　位数の掛け算

二時間近く転んでわからん問題がありましたので、皆さんに質問します。なるべく早く回答お願いします。ある定理として、群Gの位数有限の元aに対して、O(a)=rs, (r,s)=1とすれば，位数がそれぞれr，sの可換な2元b，cが存在して a=bc=cb (O(b)=r,O(c)=s) と表される。ここで、O()というのは元の位数です。で、証明において、直積分解<a>=<a^s>*<a^r>において、a=bc(b∈<a^s>, c∈<a^r>)と分解されたとする。このとき明らかにbc=cb, O(a)=O(b)O(c)が成り立つ。一方O(b)｜O(a^s)=r, O(c)｜O(a^r)=sで、O(a)=rsであるからO(b)=r, O(c)=sとなる。とあるのですが、ここで、 O(a)=O(b)O(c)が成り立つというところがわかりません。なぜに当然なのでしょうか。<a^s>の元だからと言って、常に位数がrだとは限らないと思うのですが…。一体どこで思い違いしているのか。回答可能な方よろしくお願いします。明日のセミナーに間に合わせないといけませんので、スピード回答をお願いします。
位数45の群が位数9の正規部分群をもつことの証明はどうすればいいのでし

位数45の群が位数9の正規部分群をもつことの証明はどうすればいいのでしょうか？シローの定理が必要だとおもうのですが。。。 <シローの定理> (1)p^r | |G| ==> Gは位数p^rの部分群をもつよってシローp-部分群は存在する (2)H: Gのp-部分群とすれば Hを含むシローp-部分群が存在する (3)シローp-部分群は互いにG共役 (4)シローp-部分群の個数は 1+k*p の形 (k∈Z,k≧0)
群の位数と濃度

群の位数と濃度の関係を教えて下さい。ちなみに自分が考えた結果は群Gの位数を|G|、濃度をcardGとするとき Gは有限集合⇔|G|=cardG=(Gの元の個数) Gは無限集合⇔|G|=∞⇔cardG≧cardN (ただしNは自然数全体の集合)
対称群

ｎを２以上の自然数とする。 X：＝｛０，１，２、・・・ｎ－１｝＝　Z/ｎとおく０：X→Xを、a →3a　mod n　とする。（１）０が単射となる必要十分条件をｎについての言葉で表せ（２）０が全単射となる時、０とｎ元の置換とみて、０をSｎの部分集合とみなす。　ｎ＝８のとき、０の位数を求めよ (2) 再びｎを一般の自然数とし、（１）の条件が満たされているとする。（２）で定義されたSｎにおける位数が、（Z/n)＊における３の位数と等しいことを示せ（３）はまったく手がかりすらつかめませんでした・・・めんどくさい場合は、（３）だけ回答お願いします。わからないので教えてください、よろしくお願いします
剰余群

剰余群についての質問です。説明の準備として以下を定義する。 n = Π(p|n) p^e(p) (nの素因数分解） K = {a∈(Z/nZ)* |gcd(n,a) = 1, a^m ≡ ±1 mod p^e(p),∀p|n} M = {a∈(Z/nZ)* |gcd(n,a) = 1, a^m ≡ 1 mod n} とします。　(本来は、mに意味があるのですが、説明が煩雑になるため、ここでは適当な自然数とみてください) KとMの定義より、　K⊃M. また　a∈K　⇒ a^2 ⊂ M (証明ははぶく) ------ここからが質問このとき K/M ∋ ∀a + M ⇒ (a + M)^2 = 1である。つまり(K/M)∋a+M の位数は2である。と続くのですが、 K/Mとはどのような集合を考えたのでしょうか？ a + M という剰余類も理解できませんでした。アドバイスいただけないでしょうか。よろしくお願いします。
有限位数の元の積

ふと疑問に思ったのですが、群において有限位数の元の積もまた有限になるのでしょうか。つまり、Gを群、a,bを位数が有限のGの元とする時、abの位数も有限になるのでしょうか。問題は単純なのですが、単純であるがゆえ証明が難しそうです。反例も思い付きません。どなたかよいお考えがあれば教えていただきたいです。
可換群Gの二つの元a,bのそれぞれの位数m,nが

可換群Gの二つの元a,bのそれぞれの位数m,nが互いに素ならば、abの位数はmnである。この証明が分からないです。あと、位数m,nが互いに素なようになる可換群はどのようなものがあるでしょうか？例えばmodの世界において考えると、 mod nの時、位数はn-1の約数になるので互いに素にはならないと思うのです。そもそもが間違えているかもしれません。優しく教えていただければ幸いです。よろしくお願いします。
位数が素数の累乗である群

位数が素数の累乗p^nである有限なアーベル群Gの真部分群Hについて考えます。どのHをとっても、その位数がp^nより小さくなるようなGは存在しますか？もし存在するようでしたら、具体例を挙げてください。
部分群の位数の形は?

自然数n>1に於いて　m n=Π(pi)^(ri) (m,ri∈N,　p1,p2,…,pmは相異なる素数) 　i=1 とする。位数nの群の部分群の位数は (pi)^(ri) (m,ri∈N,piは素数 (i=1,2,…,m)) のみである。 (つまり、(pi)^(ri)pj^(rj)といった形の位数を持つ事はない) という主張なのですがこの命題は正しいといっていいでしょうか?

剰余群の位数

質問者が選んだベストアンサー

お礼 2012/01/21 21:36

関連するQ&A

σの位数および剰余群Ｓ6/〈σ〉の位数

群の位数の問題なんですが？

群の位数に関しての問題です。

元の位数について

交代群A4が位数の部分群を持たないことについて

群Gの元ａの位数

乗群の位数とラグランジェの定理

群の位数について質問させてください><

元の位数

位数１２の群Gの問題なんですが・・・

Sylowの定理と位数14の群

代数学　位数の掛け算

位数45の群が位数9の正規部分群をもつことの証明はどうすればいいのでし

群の位数と濃度

対称群

剰余群

有限位数の元の積

可換群Gの二つの元a,bのそれぞれの位数m,nが

位数が素数の累乗である群

部分群の位数の形は?

注目のQ&A

カテゴリ
一覧

専門家に質問してみよう
専門家登録

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVE セレクト

剰余群の位数

質問者が選んだベストアンサー

お礼 2012/01/21 21:36

関連するQ&A

σの位数および剰余群Ｓ6/〈σ〉の位数

群の位数の問題なんですが？

群の位数に関しての問題です。

元の位数について

交代群A4が位数の部分群を持たないことについて

群Gの元ａの位数

乗群の位数とラグランジェの定理

群の位数について質問させてください><

元の位数

位数１２の群Gの問題なんですが・・・

Sylowの定理と位数14の群

代数学 位数の掛け算

位数45の群が位数9の正規部分群をもつことの証明はどうすればいいのでし

群の位数と濃度

対称群

剰余群

有限位数の元の積

可換群Gの二つの元a,bのそれぞれの位数m,nが

位数が素数の累乗である群

部分群の位数の形は?

注目のQ&A

カテゴリ 一覧

専門家に質問してみよう 専門家登録

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVE セレクト

代数学　位数の掛け算

カテゴリ
一覧

専門家に質問してみよう
専門家登録