高校2年です。 立体

質問

問題は以下の通りです。

Oを原点とする座標空間に正四面体OPQRがあり、
2点P、QはA（a,-a,0）　ただしa>0
を通り、→ｌ＝（0,2,1）に平行な直線ｌ上にあり、
RはR(r,-1,2)を満たすものとする。
このとき、a,rの値を求めよ。

かなりの難問に思えます。
どうしても解りません。
どなたか説き方を教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。

確かに難問にも見えそうですが、
「正四面体」であることをきちんと意識すれば標準レベルかと。

・2点P、QはA（a,-a,0）　ただしa>0を通り、→ｌ＝（0,2,1）に平行な直線Ｌ上にあり、
（Ｌは大文字にしておきます）
ひとまず、「直線Ｌ上にある点」を媒介変数（tなど）を用いて表してみてください。
そして、それらは点Pと点Qの座標を表すものとして用いることができます。

・RはR(r,-1,2)を満たすものとする。
ということは、ORの長さが求められ、それが正四面体の一辺の長さですね。
また、正四面体であるなら「2辺がなす角は、いずれも 60度」というもの使えそうですね。

求める未知数は、aと rだけですが、
点Pや点Qの座標のように一度文字で置いてみるというのも一手です。
（置いた分だけ条件が現れてくるはず）

お礼

回答ありがとうございます。
反応が遅くて申し訳ないです
がんばります

回答No.3

151A48

２番目の回答者です。
原点からAに矢印。PはAを通って方向ベクトル(0,2,1)方向のどこかにあるので，OPのベクトルは　ベクトルOA　にこの方向ベクトルのある実数倍を継ぎ足したところにあります。それである実数をｐとすると（それがいくつかはわかりませんが，あとで計算します）
ベクトルOP＝（a,-a,0)+p(0,2,1)=(a,-a+2p,p) です。成分であらわしたとき，ベクトルの和は各成分どうしの和ですね。Qについてはｐのかわりにｑを使いました。
はじめｋを使った式をかいたのに，ｐ，ｑに変えたのは，異なる点には異なる文字を対応させたかったからで，他意はありません。

お礼

なるほど、わかりました
ありがとうございます

回答No.2

151A48

＜計算レシピ＞
直線PQ上の点は(a,-a,0)+k(0.2,1)　のベクトルの終点なので
P（a,-2+p,p), Q(a,-a+2q,q) とでも表しておきます。OP＾２＝OQ＾２より5(p^2-q^2)=4a(p-q)を導いてください。pとqは異なるので 5(p+q)=4a・・・（１）
ベクトルOP，OQの内積を成分で計算，これをOP・OQcos60=OR^2cos60=(r^2+5)/2と等値。整理して
r^2+5=(4/5)a^2+10pq・・・（２）
OP^2=OR^2で右辺に（２）を使い，かつ（１）でｑを消去して，25p^2-20ap+2a^2=0・・・（３）とでましたか。これをｐの２次方程式として解いて。p=(2+-√２)a/5, q=(2-+√2)a/5 よってpq=2a^2/25　これを（２）に代入して　r^2+5=8a^2/5・・・（4）
次にPR＾２＝OR＾２を計算して下さい。両辺のr^2+5は消え，5p^2-4apは（３）より-2a^2/5
整理し，aで割ってしまって，4a-5r-5=0　これよりr=(4a-5)/5 ・・・（５）
これを（４）に代入して整理すると12a^2+20a-75=0 となるでしょうか。
これを解いてa>0 の方をとり，（５）に代入してrがでます。
私の計算ではa=5(-1+√10)/6, r=(-5+2√10)/3　となるのですが・・・。違っていたらごめんなさい。

お礼

回答ありがとうございます。
反応が遅くて申し訳ないです
がんばります

補足

質問してもいいのでしょうか？

P（a,-2+p,p), と表していますが、
どうしてそうなるのですか