logの微分の問題

質問

f(x)＝log(x+a/b-x) a>0 b>0

の増減と凸凹を教えてください。 できればどういう概形かもお願いします。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

あ、凹凸もか。
(d/dx)(d/dx)f(x) = -1/(x+a)2乗 + 1/(b-x)2乗 なので、
(x+a) = (b-x) となる x = (b-a)/2 が変曲点、
それより x が b に近いと f''＞0 で下凸、
それより x が -a に近いと f''＜0 で上凸
になります。

グラフは、なで肩の人がこっちを向いて、
左手を挙げて「よお」と言っているような形。
tan x の -π/2＜x＜π/2 部分に似てる
とでも言えば、雰囲気は伝わる？

お礼

回答有難うございます！
どちらも本当に分かりやすかったんですが、
自分的にalice_44さんの方が詳しくてよかったので。

info22_さんは図までつけて頂いて良く分かりました。

回答No.2

info22_

f(x)の定義域は
(x+a)/(b-x)>0　から　-a<x<b
この範囲で
f(x)=log(x+a)-log(b-x)
f'(x)=1/(x+a) +1/(b-x) (>0)
グラフは添付図のようになります。
x=-a,x=bが漸近線で
定義域：-a<x<b　この範囲で単調増加
黒線が y=f(x)のグラフ
水色線が　y=f'(x)のグラフになります。

回答No.1

alice_44

それが、定数関数 f(x) = log(a/b) ではないのなら、
log((x+a)/(b-x)) のつもりなんでしょうね。きっと。
そうであれば、log の真数条件が -a＜x＜b であることから、
f(x) = log(x+a) - log(b-x) と変形できて、
(d/dx)(log x) = 1/x より、
(d/dx)f(x) = 1/(x+a) + 1/(b-x) ＞ 0 + 0 です。
単調増加ですね。