台形公式

質問

こんにちは。
学校の先生に台形公式を使って次の式を解けといわれました。
x'[n]=cos(θ[n])
例えば今n=5とします。θ[1]～θ[5]とx[0]は既知です。
僕的には、θが既知であるため台形公式を使わなくても長方形の計算で解けてしまう気がするのですが、間違いでしょうか？
また、この場合どのように台形公式を適用すれば良いのでしょうか？
どうぞよろしくお願いします。

回答No.3

KENZOU

1）x'[n]=cos(θ[n])で左辺は微分の形になっているのですが同様なやり方でいいのでしょうか？

微分ですか。関数の連続性が気になりますが微分形式で与えられているということですから素直に積分すると
　ｘ[n]＝sin(θ[n])＋C　（Cは積分定数）
とすればいいのではないでしょうか。ここで積分定数の取扱いをどうするかということになりますがｘ[0]が既知なので　C＝ｘ[0]＋sin(θ[0])　としてθは等間隔で並んでいると仮定すると　θ[0]＝(θ[5]-θ[1])/4　から求めることができるのでは。
2)全体の面積を求めるのではなく、x[1]～x[5]を求めるにはどのようにしたらよいでしょうか？
　ｘ'[n]=cos(θ[n])、n=5、θ[1]～θ[5]とx[0]は既知
ですから
　x[1]＝sin(θ[1])＋C
　x[2]＝sin(θ[2])＋C
　　　　：
から求まると思いますが。しかし、なにか勘違いしているようで自信はありません（笑い）。

お礼

返事遅くなりまして申し訳ありません。
ご回答ありがとうございました。

回答No.2

KENZOU

＜台形公式＞
関数ｙ＝f(x)を考えて積分区間[a,b]をｎ等分します。ｎ等分した点をそれぞれｘ0、ｘ1、ｘ2、・・・、ｘｎとし、各当分点における関数の値をそれぞれｙ0,ｙ1、ｙ2、・・・、ｙｎとしましょう。このとき曲線上の点P0、P1、P2、・・・、Pnを線分で結んで得られる折れ線とｘ軸で囲まれる領域の面積はｎ個の台形の面積の総和で表されるますね。個々の台形の面積をそれぞれS1、S2、・・・、Snとし、総和をSとすると
　S＝ΣSi[i=1～5]　　(1)
となります。また、各台形の高さｈは次式式で与えられますね(台形が丁度横になっているイメージ）。
　ｈ＝(b－a)/ｎ　　(2)
(1)(2)からSを求めると結局
　S＝{(y0＋yn＋2Σyi[i=1～n-1]}×(h/2)　(3)
となります。
＜問題＞
x[n]=cos(θ[n])、n=5、θ[1]～θ[5]とx[0]は既知　　(4)
問題を求積問題とするなら
(2)より
　h＝(θ[5]-θ[0])/5　　(5)
(3)より
　S＝{x[0]＋x[5]＋2Σx[i]}×h、i＝1,2,・・・4　　(6)
(6)の右辺第3項のx[i]は(4)の条件から求められます。
以上でいかがでしょうか？

補足

ご回答ありがとうございます。
なんとなく分かった気がしますが、２点だけお願いします。

1）x'[n]=cos(θ[n])で左辺は微分の形になっているのですが同様なやり方でいいのでしょうか？

2)全体の面積を求めるのではなく、x[1]～x[5]を求めるにはどのようにしたらよいでしょうか？

以上2点ですがよろしくお願いします。

回答No.1

ymmasayan

式を解くというのは面積を求めるという事でしょう。
そうだとすると長方形でも求まりますが、台形の方が精度が高くなります。

お礼

ご回答ありがとうございました。