cotの公式があるか？

質問

ドモアブルや加法公式を組み合わせてもなかなか出てこなくて困っています。

cotx+cot(x+π/n)+cot(x+2π/n)+...+cot(x+(n-1)π/n)を計算すると上手くまとまるのですか?ご存知の方詳しく教えて頂きたいのですが。

回答No.2

boobee0125

証明は私の質問「cot 有限級数公式の証明 」（質問番号：4536196）への gef00675 さんの回答をご覧下さい。オイラーの公式を使った（私にとっては）かなり高度な証明ですが正しいことは自分なりに検証しました。

ところでふとギモンに思ったんですが、この公式は何に使われるんでしょうか？ （実生活で役立ちそうな公式には思えなかったので）

回答No.1

boobee0125

0＜x＜π/n の範囲内でしたら、私が実験的に発見した下記公式が使えます。

cotx+cot(x+π/n)+cot(x+2π/n)+...+cot(x+(n-1)π/n)
= n・cot(n・x) ただし 0＜x＜π/n

これは解析的にも正しい公式だと思いますがいまのところ証明が出来ていませんので私から別質問を立てます。

補足

n=1,2,3で成り立つことが確認できましたが、どう証明するのでしょう？分かったら教えて頂きたいと思います。