解き方を教えてください[数学高校生レベル]

質問

ちょっとひまがある方でいいので下の問題の解き方をわかりやすく教えてください

「次の関数の極値を求め、グラフを書きなさい
　　　　　y＝-3X三乗+4　　　　　　　　　　　　　　」

微分と積分の問題でこれの答えはこの問題が載っている本の答えを見て、
‘極値を持たない‘という風に答えだけ書いてあって、どうやって出すのか
わからないです。

どうかお願いします。

回答No.2

mmmma · ベストアンサー

とりあえず、このグラフが通る点を求めます。

３次関数なので、ポイントとなるのは、X軸との交点、Y軸との交点、極値、変曲点です。

極値はf'(x)=0
変曲点はf''(x)=0

それぞれのxの値の前後が正か負かは、しっかり見てくださいね。

お礼

ありがとうございます！！参考になりました！

回答No.5

yyssaa

曲線がx軸と交わる点を追加して、再度回答します。

まず、与式y=-3x^3+4の曲線のおおよその形を考えます。
x→∞でy→(-∞)、x→(-∞)でy→∞、x=0でy=4、y=0でx=(4/3)の三乗根(立方根)。
1.1^3＜4/3＜1.11^3から(4/3)の三乗根は1.1と1.11の間にあります。
以上からy=-3x^3+4の曲線はy軸とy=4で交わり、x軸とx=(4/3)の三乗根(1.1と1.11の間)
で交わる左上がり右下がりの3次曲線ということが分かります。
次に曲線の形をもう少し詳しく調べます。
与式y=-3x^3+4の一階微分でy'=-9x^2
これは点(x,y)で曲線に接する直線(接線)の傾きを与えます。
x=0でy'=0ですからy軸と交わる点(0,4)で曲線の接線はx軸と平行(水平)になります。
もしこの曲線に、共に接線の傾きが0となる極大値と極小値があるならy'=0を満たす
xは二つなければなりませんが、y'=0を満たすxはx=0だけなので、極大値と極小値が
共にあることにはなりません。
次に与式y=-3x^3+4の二階微分でy"=-18x
これは点(x,y)での曲線の凹凸を表します。x＜0で0＜y"、0＜xでy"＜0ですから
曲線の形はx＜0で下に凸な曲線、0＜xで上に凸な曲線になり、点(0,4)は曲線の凹凸が
変わる変曲点になり、極大値でも極小値でもありません。
従って、この曲線は極値を持たないことになります。

回答No.4

yyssaa

y=-3x^3+4から
1階微分でy'=-9x^2
2階微分でy"=-18x
x→∞でy→(-∞)、x→(-∞)でy→∞、x=0でy=4
よってこの曲線はy軸を4で横切る左上がり右下がりの３次曲線になります。
もし極大値、極小値があるならy'=0を満たすxが二つの値をとるはずですが、
今はy'=0を満たすxはx=0のみであり、極値を持たないことになります。
さらにx=0でy"=0となるので点(0,4)は変曲点、x＜0で0＜y"、0＜xでy"＜0
ですから曲線の形はx＜0で下に凸な曲線、0＜xで上に凸な曲線になります。

回答No.3

alice_44

f が微分可能であるとき、f(X) が極値である条件は、
ある X の前後で f’(X) の符号が異なることです。
f’(X) = 0 は、f’ が連続関数である場合に
その必要条件ですが、十分条件ではありません。

質問の f の場合、f’ が二次関数になりますから、
極値の有無は、二次関数が定符号であるか否か
の問題になります。

回答No.1

under12

y=x^3をぐぐれ。
それを左右反転すれば？　この時点で完成度80％ぐらいｗ

グラフを描くだけならば、中学生でも充分できますよ。
手を抜いていますと留年しますよ。