積分の変数変換について
積分の変数変換に関する質問です。一番簡単な直交座標から極座標への変換を例にします。
x = x(r,θ) = rcosθ.
y = y(r,θ) = rsinθ.
であるとき f(x,y) = 1 を x^2 + y^2 ≦ R^2 という円内を積分領域して積分すれば
∫∫f(x,y)dxdy = ∫∫dxdy = ∫∫rdrdθ ・・・・・・ (#)
となり円の面積が求められます。つまり直交座標から極座標に変換して積分するときは
dxdy →drdθ
ではなく、
dxdy →rdrdθ
としなければならないと、どんな参考書にも書いてあります。つまり r を余分に付け加えるわけですが、これは
┌ ┐ ┌ ┐┌ ┐
｜dx｜=｜cosθ -rsinθ｜｜dr ｜
｜dy｜ ｜sinθ rcosθ｜｜dθ｜
└ ┘ └ ┘└ ┘
|J| =｜cosθ -rsinθ｜= rcos^2θ- (-rsin^2θ) = r
｜sinθ rcosθ｜
のように行列式|J|でも求めることができ、|J|をヤコビアンと呼ぶということも参考書に載っています。
一方で
rdrdθ= rdθ*dr
は極座標における面積要素ですから(#)の変換は直感的にも納得できます。θは角度ですから drdθでは面積になれないわけです。(#)は具体的には
∫[0～2π]∫[0～R]rdrdθ
で計算できます。この式だけじーっと見ていると、いつのまにか r とθが極座標の変数であることが忘れ（笑）、あたかもθを縦軸、r を横軸とする '直交座標' において関数 θ= r を積分していると見なせます。
で、ここからが質問なのですが・・・
直交座標から任意の座標に変数変換して積分するということは、結局のところ、その任意の座標を直交座標と見なして計算することであると考えてよいのでしょうか？
たとえば
x = x(u,v,w) y = y(u,v,w) z = z(u,v,w)
┌ ┐ ┌ ┐┌ ┐
｜dx｜ ｜∂x/∂u ∂x/∂v ∂x/∂w ｜｜du｜
｜dy｜=｜∂y/∂u ∂y/∂v ∂x/∂w｜｜dv｜
｜dz｜ ｜∂z/∂u ∂z/∂v ∂z/∂w｜｜dw｜
└ ┘ └ ┘└ ┘
｜∂x/∂u ∂x/∂v ∂x/∂w｜
|J| =｜∂y/∂u ∂y/∂v ∂x/∂w｜
｜∂z/∂u ∂z/∂v ∂z/∂w｜
であるとき
dxdydz = |J|dudvdw
という変数変換は、 u、v、w がどんな座標の変数であれ、最終的には u、v、w の '直交座標' で計算することであると考えてよいのかということです。
任意の座標同士の変数変換というのはどうなるのでしょうね。ちょっと想像しかねます。
お礼
できました、ありがとうございます。