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座標変換
私の受ける大学院入試の過去問です。 空間の座標系ｒに関して ｘ+ ３ｙ -2ｚ +1＝0 で表される平面πがある 座標変換ｒ→ｒ’の式が以下であるとき、平面πのｒ’に関する方程式を求めよ [x] [1 2 3] [x'] [1] [y]=[2 4 5] [y'] +[-2] [z] [3 5 6] [z'] [3] どなたかこの問題の解き方、模範解答を教えて下さい。^_^
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x=x'+2y'+3z'+1 y=2x'+4y'+5z'-2 z=3x'+5y'+6z'+3 とx+3y-2z+1=0が分かっているのだから上式を代入して (x'+2y'+3z'+1)+3(2x'+4y'+5z'-2)-2(3x'+5y'+6z'+3)+1=0 つまり x'+4y'+6z'-10=0 になります。これが座標変換後の平面の式です。
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- CygnusX1
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うまく説明できるか、伝わるか分かりませんが、解説してみます。 (Excel を使うというズルをしてますので……^^;;; ) 座標変換の式を簡単に P = A P' + B とします。 これを変形して P' = A^-1 ( P - B) となります。A^-1 は A の逆行列です。 平面の式からまずX軸との交点を求めます。便宜上 x, y, z を横に並べます P1 = (-1, 0, 0) P1 - B = (-1, 0, 0) - (1, -2, 3) = (-2, 2, -3) 逆行列 A^-1 にこれを掛けて、P1' を求めます。 P1' = (-14, 15, -6) 同様に Y軸との交点 P2 = (0, -1/3, 0) から P2' = (-12, 11, -11/3) Z軸との交点 P3 = (0, 0, 1/2) から P3' = (-12, 23/2, -4) が得られます。 次にこの3点を通る平面を求めるのですが、まず方線ベクトルを求めます。 法線ベクトルは二つのベクトルの外積になりますので、P1' を基準として (P2' - P1')×(P3' - P1') 直角ではないので、ベクトルの長さは1以下です。 単位ベクトルにする必要があります。 この法線ベクトルとP1' の位置ベクトルを内積した値が面と原点の距離になります。(P2' , P3' との内積でも同じ値になります。) あとは係数を整数の形にしてやると平面の式になります。 最初に書きましたように Excel で計算したので、途中経過を記述することはできません。 ごめんなさいです。 最後の式だけ x + 4 y + 6 z -10 = 0
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