数学Aの問題について質問です！

質問

こんばんは。
とある問題について、解法がよくわからないので質問しました。
問題は以下の通りです。
数直線の原点上にある点Pが、以下の規則で移動する試行を考える。
（規則）硬貨を１枚投げて、表が出た場合は、正の方向に１移動し、裏が出た場合は、負の方向に１移動する。
k回の試行の後の、点Pの座標をX(k)とする。
問題：X(1)≠0,X(2)≠0,......X(9)≠0であって、かつ、X(10)=0となる確立を求めよ。

という問題です。
回答には表が書かれていて、表や裏の出方を書き出して数えていました。
しかし、書き出して数える場合、この試行の数がもしも１００回など大きな数だった場合数えられませんよね？
そういう時のために、きっと計算で求められると思うのですが、色々試してみても計算で求める方法がどうしてもわかりません。
どなたか数学が得意な方、是非知恵を貸してください！
よろしくお願いします。

回答No.6

kirlukija · ベストアンサー

度々投稿して失礼致します。

No.4後半の(2)はとんだデタラメを書いていました。
この計算では、A-C組の並び方について
AACCのように入れ子になる場合がカウントされませんし、
だいいちA,Cの起こる確率はj*(1/4)^2じゃなく(1/4)^(2j)です。
従って、(2)を用いて求めた(※)も誤りです。

いやほんと、失礼しました。（計算を修正しても、やはり一般化が難しいことに変わりはありませんでした）

お礼

何度もご回答ありがとうございます！
数学の先生に先日聞きに行ったところ、座標で解くのがいいよ、と教えていただきました。
そこで「式では解けないのですか？」と聞いたところ、できないと思うと言われてしまいました；
何度も考えていただき、本当にありがとうございました！

回答No.5

kirlukija

No.4の補足
断るのを忘れましたが、後半では、Q＝（m-1回目にPが+2にある確率）としてQを求めようとしていました。

回答No.4

kirlukija

一般のnに対して、
"X(1)≠0,X(2)≠0,...,X(n-1)≠0"かつ"X(n)=0"となる確率
を求めることは可能なのではないかという気がします。

上記の確率をP(n)とします。
試行1回毎に正負どちらかの方向に移動するわけですけれども、
移動距離の絶対値が等しい（|1|である）という問題の設定から、
とりあえず奇数回目には絶対原点に来ないことがわかりますね。

従って、nが奇数のときP(n)=0です。X(n)=0は絶対に起こらないのですから。

nが偶数のときは、kが奇数ならば必ずX(k)≠0なので
"X(1)≠0,X(2)≠0,...,X(n-1)≠0"という条件は
kが偶数のとき、即ち
"X(2)≠0,X(4)≠0,...,X(n-2)≠0"　・・・(＊)
だけを考えればよいことになります。

ここで、ある2回の試行でPがどう移動するかを考えると、
A:"進む・進む"　　　　　　→移動+2　確率1/4
B:"進む・戻るor戻る・進む"→移動±0　確率1/2
C:"戻る・戻る"　　　　　　→移動-2　確率1/4
の3つの場合しかありません。
nは偶数という前提なので、２回ずつセットにして捉えた方が便利です。
n=2mと置くと、
n回目までにはこの2回セットがm回起こります。
以下、2回セットを１つの試行と見なします。

m回の試行の各々は、Aか、Bか、Cのいずれかであるわけですが
m回目にPが0に来るということは、
"m-1回目にPは+2にあって、m回目にCが起こる"
"m-1回目にPは-2にあって、m回目にAが起こる"
のいずれかです。条件の対称性から、両者の確率は等しくなります。
(＊)の条件を前提として
（m-1回目にPが+2にある確率）=（m-1回目にPが-2にある確率）
=Qとおくと
C,Aが起こる確率はそれぞれ1/4なので
P(n)=2*{Q*(1/4)}=Q/2　・・・(☆)
が成り立ちます。
あとは、Qをnで表してこの式に代入すればよいことになります。

Pの位置は、Aがa回,Bがb回,Cがc回起こったとすると
2a+0b+(-2)c=2(a-c)　・・・(★)
です。
従って、m-1回目にPが+2にあるということは、
m-1回目終了時点までにAがCより1回多く起こったということです。
しかも、m-1回目までに1度も原点に来てはならないので、
m-1回目まで常にa>cでなければなりません。
（ちなみに、a<cは起こりえません。
cの方が大きいということは、原点の左側にあるということですが、
その場合最終的に+2に来る為には原点を通過しなければなりませんから）

つまり、Qに含まれる場合は、例えば
AACBBBBB...とかAACACACA...とかABABCAAA...
みたいな場合です。
抽象化すると、
(1)1回目がA
(2)その後m-2回はA-Cの組がこの順で何回か起こる（ABBCのような場合も含む）
(3)Bが(1)と(2)でAとCが起こった回以外の全ての回で起こる（当たり前ですが）
の３つの条件をすべてクリアしている場合ですね。

(1)の確率は1/4

(2)の確率は
A-Cの組がj組あるとすると
j*(1/4)^2=j/16
(ただし、mが偶数の場合は0≤j≤(m-2)/2)
mが奇数の場合は0≤j≤(m-1)/2)

(3)の確率は
Bが(m-2j-1)回起こる確率が(1/2)^(m-2j-1)
Bが何回目に起こるかは
(1)と(2)で決めたA,Cの間または右端（1回目はダメなので左端を除く）
の2j+1箇所のいずれかにそれぞれのBを入れ込むと考えて、
重複組み合わせの考え方を使うと
(2j+1)H(m-2j-1)=(m-1)C(m-2j-1)
なので
{(1/2)^(m-2j-1)}*{(m-1)C(m-2j-1)}

(1)、(2)、(3)より、(1)かつ(2)かつ(3)の確率は
(1/4)*(j/16)*{(1/2)^(m-2j-1)}*{(m-1)C(m-2j-1)}
で、1/2の指数をまとめて、定数を前に出すと
{(1/2)^(m+5)}*j*(4^j)*{(m-1)C(m-2j-1)}　・・・(※)

あとは、mが偶数のときと奇数のときとに分けて、
jについて(※)のシグマを取ればQが求まる
・・・と思ったのですが、このシグマが厄介ですね。
ここまで書いて断念とは、申し訳ない限りですが、
ちょっとこの先どうすればよいかわからなくなってしまいました。

でも、(※)の計算方法か考え方を工夫すれば求められる気がしませんか？

回答No.3

hrsmmhr

申し訳ないです、X3(i-2)の漸化式の展開が正しくないです
もうちょっと考えます。

回答No.2

hrsmmhr

i回目にi回目までに1以下（初回を除く）にならずに+kにいる確率をXk(i)とします
X1(i)=X1(i-2)*1/4+X3(i-2)*1/4
と書けますが
X3(i-2)=X1(i-4)*1/4*2なので
X1(i)=X1(i-2)/4+X1(i-4)/8

漸化式の解き方で
8x^2-2x-1=0
x=1/2,-1/4
から

X1(i)+X1(i-2)/4=1/2{X1(i-2)+X1(i-4)/4}=(1/2)^{(i-3)/2}[X1(3)+X1(1)/4}
=(1/2)^{(i+1)/2}=α（とαを定義して）
X1(i)-4/5α=(-1/4)[X1(i-2)-4/5α]=(-1/4)^{(i-1)/2}[X1(1)-4/5α}
X1(i)=4/5α[1-(-1/4)^{(i-1)/2}]+1/2(-1/4)^{(i-1)/2}

X(n)=X1(n-1)/2
=2/5α[1-(-1/4)^{(n-2)/2}]+1/4(-1/4)^{(n-2)/2},α=(1/2)^{n/2)
（但しｎは偶数のみ）

計算は自信がないのですが、n=4のときは1/16です

回答No.1

OurSQL

まず、「確立」と「回答」、2つの誤字があります。
特に「確立」の方は、見ただけで気分が悪くなる誤字です。

質問文を読むと、あなたは、
X(1) ≠ 0, X(2) ≠ 0, ・・・, X(n－1) ≠ 0 であって、かつ、X(n) = 0 となる確率を、n の式で表すことを要求しているようですね。
そうなると、かなりの難問というか、思考と計算の両方で面倒な問題だと思います。
n = 10 程度だから、このような問題が出題されたのではないでしょうか。

お礼

ご解答ありがとうございます。
すみません、急いでいたので恥ずかしいミスをしました。

nを使って考えるんですね。
確率の問題では公式のように解き方がパターン化されていたので、この問題もパターンがあるのかと思っていました。
でも、すんなりと当てはめれば解けるような式はないみたいですね。
参考になりました。
ありがとうございました。