数学の問題を教えてください！

質問

xy平面上を原点O(0,0)から出発して、1つのさいころを1回投げるごとに、その出た目Xによって、次の規則で移動する点Pを考える.
(A)X=1のとき、点Pが点(i,j)の位置にあるならば点(i,j+1)に移動する.
(B)X=2のとき、点Pが点(i,j)の位置にあるならば点(i,j-1)に移動する.
(C)X=3のとき、点Pが点(i,j)の位置にあるならば点(i+1,j)に移動する.
(D)X=4のとき、点Pが点(i,j)の位置にあるならば点(i-1,j)に移動する.
(E)X=5またはX=6のとき、Pは移動しない.
さらに、Pが点(i,j)の位置にあるとき、Y=｜i+j｜、Z=｜i｜とする.

(1)さいころを4回投げた後に、Pが点(1,1)の位置にある確率を求めよ.
(2)さいころを2回投げた後に、,Y=0となる確率を求めよ.
(3)さいころを2回投げた後のYの期待値を求めよ.
(4)さいころを3回投げた後のZの期待値を求めよ.

解答
(1)1/18
(2)1/3
(3)8/9
(4)13/18

略解は
(1)4!/1!1!2!{(1/6)^2(2/6)^2+(1/6)^4+(1/6)^4}
(2)Y=0となるのはPが(0,0)、(1,-1)、(-1,1)の何れかである時.
(3)Y=1となるのはPが(0,0)、(0,-1)、(1,0)、(-1,0)の何れかであるのでY=1となる確率は8・2/6・1/6=4/9
Y=2となる確率は1-(1/3+4/9)
(4)Pが(3,0)、(2,0)、(1,0)、(2,1)、(1,1)にある時の確率を求め図形の対称性を利用.
0×88/216+1×102/216+2×24/216+3×2/216

(1)などにしてもどうして4乗が出てくるのかなどよくわかりません.
一応解答はわかっているので途中の式を詳しく教えていただけると幸いです.

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

(1)
点(1,1)にあるためには、さいころの目は、
１が１回、３が１回、５または６が２回
１が１回、３が２回、４が１回
１が２回、２が１回、３が１回
の３通りあります。
それぞれの並べかたの数は、２つが同じであとは別々だから、
4!/1!1!2!
１、２、３、４が出る確率は1/6、５または６が出る確率は2/6。
それぞれの確率は、
1/6*1/6*2/6*2/6=(1/6)^2*(2/6)^2
1/6*1/6*1/6*1/6=(1/6)^4
1/6*1/6*1/6*1/6=(1/6)^4

(2)
点(0,0)にあるためには、さいころの目は、
１が１回、２が１回
３が１回、４が１回
５または６が２回
点(1,-1)にあるためには、さいころの目は、
２が１回、３が１回
点(-1,1)にあるためには、さいころの目は、
１が１回、４が１回
(1)と同じように、それぞれの並べかたの数と確率を出して総和を計算すれば答が出ます。

(3)
(2)と同じように、さいころの目がでるパターンを全て列挙し、それぞれの並べかたの数と確率出して、Y=1の確率を計算します。
Y=2の確率は、
1-(Y=0の確率)-(Y=1の確率)
期待値は、
0*(Y=0の確率)+1*(Y=1の確率)+2*(Y=2の確率)

(4)
(3)と同じ考え方です。
X=0,1,2,3となる確率を求めて、
期待値=0*(X=0の確率)+1*(X=1の確率)+2*(X=2の確率)+3*(X=3の確率)