角錐の角度について

質問

八角錐の教会の屋根みたいなものを、厚みのある板でつくりたいのです。
　そこで側面の二等辺三角形の形を先に決めて(たとえば40°70°70°)、その後にそれがうまく八角錐になるように、三辺にそれぞれ角度をつけたいと思います。
　しかし角度のだし方がわかりません。当方もう数学は全く忘れてしまっているので、できるだけ簡単な方法があれば教えて下さい。他の角錐や、角度にも適応できる公式みたいなものがあればうれしいのですが・・。
　どなたかよろしくお願いいたします。

回答No.7

grothendieck · ベストアンサー

terupeさん、こんにちは。下で私が書いた面倒な計算は不要です。もっと簡単に求まります。といってもベクトルの内積お概念は必要ですが…三角形の二等辺の間の角θで表わした方が便利だと思います。三角が底面となす角をφとすると
　cosφ・tan(π/8) = tan(θ/2)
から底辺のテーパが決まります。三角形に垂直なベクトルの間の角は次の様に考えられます。底辺の中点から頂点に向かう単位ベクトルをpとし、側面の三角形の面に垂直な単位ベクトルをn、錐体の側面の辺から中心軸の方向に向かいpに垂直なベクトルをtとします。nとtの間の角が求めたいテーパの角です。底面の八面体の一つの辺をy軸に平行に置くと、
　n=(-1,0,nz)
　t=(-cos(π/8),-sin(π/8),tz)
とおけます。三角が底面となす角をφとすると
　a=(-cosφ,0,-sinφ)
で、n・a=t・a=0でなければならないから、
　n=(-1,0,1/tanφ)
　t=(-cos(π/8),-sin(π/8),cos(π/8)/tanφ)
になります。これからnとtの間の角をψとすると
　cosψ = cos(π/8)/√(sin^2φ + cos^2(π/8)cos^2φ)
この式はφ=0でψ=π/2, φ=π/2でψ=π/8となり正しい値を与えています。θ=40゜=0.69813(rad) のとき、
　　cosφ・tan(π/8) = tan(θ/2)
よりφ = 0.4976665 (rad)で、
　π/2 - φ = 1.0731298 (rad)
が底辺のテーパ角です。頂点を挟む辺のテーパは上の式より
　　ψ = 0.195217 (rad)
になります。

お礼

これならなんとかなりそうです。grothendieckさん、そのほかの皆さん、本当に有り難うございます。

回答No.6

grothendieck

terupeさん、こんにちは。三角形の形を先に決めるのですからテーパはRとHでなく、三角形の二等辺の間の角θで表わした方が便利だと思います。三角が底面となす角をφとすると
　cosφ・tan(π/8) = tan(θ/2)
から底辺のテーパが決まります。この式は三平方の定理を何回か使うと求まります。三角形に垂直なベクトルの間の角は次の様に考えられます。底面の正八角形をABCDEFGHとし、その中心をO、八角錐の頂点をHとします。ベクトルOAをa、ベクトルOBをb、ベクトルOCをcとします。またOを始点とし、Hを終点とするベクトルをhとします。a,b,cの大きさを1とすると
　(a,b)=cos(π/4)=1/√2, |a×b|=sin(π/4)=1/√2
　(a,h)=(b,h)=0
　c = √2b-a
となります。八角錐の側面の辺はa-h, b-hなどになり、
　(a-h,a-h)=a^2 - h^2 = 1 + h^2
　(a-h,b-h)=(a,b) - h^2 =1/√2 + h^2
よって二等辺三角形の錐体の頂点と接している角をθとすると
　cosθ = (a-h,b-h)/|a-h|・|b-h|
　=(1/√2 + h^2)/(1 + h^2)
a×hは大きさが|h|で向きは-cだから
　a×h = |h|(a-√2b)
同様に
　b×h = |h|(√2a-b)
三角形に垂直なベクトルを求めるために外積を計算すると
　(a-h)×(b-h)=a×b-a×h-h×b
　=n/√2 -|h|(a-√2b)+|h|(√2a-b)
　|(a-h)×(b-h)|=√((2-√2)h^2 +1/2)
ただしnはh方向の単位ベクトルをnとします。同様に
　(b-h)×(c-h)も計算し、この二つのベクトルの間の角を求めることで原理的には二等辺三角形の頂点を挟む辺のテーパが求められるはずだと思います

お礼

一番求めていた答えには違いないのですが、・・ベクトルって高校でやらなかったんです。だから理解できない・・意外とたいへんなことになっちゃいました。
どうも有り難うございます

回答No.5

i536

#4です、以下で、記号の意味は前回の回答のものと同じとします。

とんがり帽子を構成する８つの二等辺三角形の底辺のテーパβは次の式で求まります。

β=cos-1(R*cos(22.5°)/C)=cos^-1(R*√(2+√2)/(2*√(R^2+H^2)))

つぎに、二等辺三角形の頂点を挟む辺のテーバαの求め方を説明します。

空間座標O-XYZでZ軸上に点T(0,0,H)を、また、
XY平面の第一象限に３つの点P(R,0,0),Q(R/√2,R/√2,0),S(0,R,0)をとり、
この空間の△TPQ、△TQSにぴったりと合うように、テーパを正しく施した
２つの上記二等辺三角形を配置したとします。

△TPQ、△TQSの平面は、それぞれ、下式(1)、(2)で表すことができます。
x+(√2-1)y+(R/H)z=R---(1)
(√2-1)x+y+(R/H)z=R---(2)

また、△TPQ、△TQSの平面に直交するベクトルV,Wは、
それぞれ、平面の式(1)(2)から、直ちに下式(3)、(4)で表せます。
ただし、平面に直交するベクトルは無限にありますので、下記はそのひとつにすぎません。
V=(1,√2-1,R/H)---(3)
W=(√2-1,1,R/H)---(4)

平面△TPQ、△TQSの交わる角φは、上記ベクトルV,Wの内積を使って、
次のように式(5)で求まります。

V・W=|V|*|W|*cos(φ)=|V|*|W|cos(V,W)

∴cos(φ)=V・W/(|V|*|W|)=(((√2-1)+(√2-1)+(R/H)^2))/(1+(√2-1)^2+(R/H)^2)
∴cos(φ)=((2*(√2-1)+(R/H)^2))/(2*(2-√2)+(R/H)^2)

∴φ=cos^-1(((2*(√2-1)+(R/H)^2))/(2*(2-√2)+(R/H)^2))---(5)

したがって、二等辺三角形の頂点を挟む辺のテーバαは、式(6)で求まります。

α=90°-(φ/2)
=90°-(cos^-1(((2*(√2-1)+(R/H)^2))/(2*(2-√2)+(R/H)^2)))/2---(6)

ちなみに、H→∞とすると、α=90°-cos^-1(1/√2)/2=67.5°
一方、H→0とすると、α=90°-cos^-1(1)/2=90°

したがって、デーパαは、67.5°～90°の間となります。

お礼

ああ、逆三角関数・・計算できるかなぁ・・やってみます。詳しい解答本当に有り難うございました。

回答No.4

i536

作ろうとされている正八角錐のとんがり帽子の
底面に外接する円の半径をR、
この底面円の中心からとんがり帽子の天辺までの高さをHとします。

つぎに、側面を構成するひとつの二等辺三角形の、
【底辺の長さの半分】をA、頂点を挟む辺の長さB、
頂点から底辺におろした垂線の長さCと
すると、次の関係が成立します。

A=R*sin(45°/2)=R*√(2-√2)/2≒0.3827*R
B=√(R^2+H^2)---ピタゴラスの定理から
C=√(B^2-A^2)---ピタゴラスの定理から

頂点Aの角度Θは、2*sin-1(A/B)
底角は、(180-Θ)/2あるいはcos-1(A/B)

板に厚さがありますので、
二等辺三角形の頂点を挟む両側の辺に≒67.5°のテーパを
つける必要があります。

お礼

有り難うございます。まさにそのテーパーの角度を出したかったのです。二等辺三角形の底辺につけるテーパーは

頂点Aの角度Θは、2*sin-1(A/B)
底角は、(180-Θ)/2あるいはcos-1(A/B)

でいいと思うのですが、両辺の67.5°というのは、どうやって導いたのですか?
ホントに数学バカなんで、的外れなこと聞いていたらごめんなさい。

回答No.3

atsushi01

実物を描いた方がいいと思いますよ。
計算して出すのもいいのですが製図をしたほうが頭に入ります。
八角錐ぐらいならぱーっと絵でみた方が分かりやすいですよ。

お礼

図でかいても、求められないんですー。わたしが愚かなのでしょうか。有り難うございました。

回答No.2

shinobinomono

頂角が45度の合同な二等辺三角形を８枚合わせると正八角形ができますから、頂角を45度未満にすれば正八角錐ができます。高さも必要ならばもう少し難しい話になりますが・・・
　回答になっているのでしょうか。

お礼

高さも必要です。どうも有り難うございました。

回答No.1

domi_rb

こんにちわ。

一応、数学＆情報学科を卒業したのですが、結局、情報」を選考してしまい、同じく数学を忘れ去ろうとしているものです（笑）

１つ、確認したいのですが、terupeさんは、「正多角錐」を作成したいんですよね？違ったら、この回答は無視してください^^;

私の記憶では、正多角錐は、５通りしかなかったはずです。その中に、確か、八角錐もありました。ということで、記憶の糸をたどって計算してみると、こんな感じになりました。

正多面体の中心を O, 一つの面の中心を C, その面の一頂点を A, それを橋とする一辺の中点を B, 面が正 p 角形, 頂点が正 q 角錐とするとき
∠BOC + ∠COA + ∠AOB = (10 - p - q)π/4.

ではないでしょうか？
違ったらごめんなさい～～～

お礼

えーと正多角錐ではないのですよ。ただの角錐で、二等辺三角形の形をさきに決めて、そこから角錐の頂角やら、厚みのある板につけるテーパーやらをだしたかったのです。どうも有り難うございました。

補足

いや、お礼で、正多角錐ではないとかいたけれど、そもそも正多角錐とはなんぞや?、多の方の回答を見るうちに自信なくなってきました、すいません。数学どころか算数がわからないようです。すいません。