中学の幾何の問題

質問

だいぶ長い間考えたのですがどうしても分からないので質問させてください。

「底辺が一辺2aの正三角形ABCで、側面がOA=OB=OC=3aの二等辺三角形である正三角錐O-ABCがある。
OB上に点D、OC上に点Eをとるとき、最小となるAD+DE+EAの長さを求めよ。」

展開図上でA,D,E,A'が一直線になるときにAD+DE+EAが最小になるはずなので、展開図で考えれば良いのだろう、ということは思いついたのですが、それ以上思いつきません。
相似とか合同を使うんだろうか？とか、どこかに補助線を引くんだろうか？とか、いろいろ考えてみているのですがわかりません。

ヒントだけでもいただければ幸いです。よろしくお願いします。

回答No.3

noname#252183 · ベストアンサー

三角関数を使わず、純ユークリッド幾何で解いてみました。

三角錐の展開図（下図）で、ＡＤＥＡ’（緑の直線）が最短です。
同じ記号の角度同士（赤丸●または青三角▲）は全部同じで、●▲▲＝π（180度）。

最初に△ＯＡＡ’は二等辺三角形ゆえ△ＯＡＤ≡△ＯＡ'Ｅ（１辺と両端の角）
∴ＯＤ＝ＯＥで ∠ＯＤＥ＝∠ＯＢＣ＝（π－●）／２＝▲＝∠ＯＢＣ、∴ＡＡ’//ＢＣ

∠ＡＤＢ＝∠ＯＤＥ＝▲になるから△ＡＢＤは二等辺三角形でＡＤ＝ＡＢ＝２ａ・・・(1)
同様にして Ａ’Ｅ＝ＡＣ＝２ａ・・・(2)

一方∠ＢＡＤ＝π－▲▲＝●。∴△ＡＢＤ∽△ＯＡＢ（３角）。
これと △ＣＢＤ ≡ △ＡＢＤ（２辺と挟角）より、△ＯＢＣ ∽ △ＣＢＤ

∴ＯＢ：ＢＣ＝３：２＝ＣＢ：ＢＤ＝２ａ：ＢＤ　⇒　∴ＢＤ＝４ａ／３
∴ＯＢ：ＢＣ＝３：２＝ＯＤ：ＤＥ＝３ａ－４ａ／３：ＤＥ
∴ＤＥ＝(10/9)ａ・・・(3)

求める答は（1）+（2）+（3）＝４６ａ／９　となりました。

お礼

図も描いていただいたので、とても分かりやすいです。ありがとうございました。

回答No.4

noname#252183

#3 です。
#2 さんと同じ回答内容ですね。失礼しました。

回答No.2

htms42

中学生ということですから余弦定理は無理ですね。
相似形、合同だけでやってみましょう。
展開図は出来ているのですからそれを使います。
ＡＤＥＡ’は直線です。ＢＣに平行になります。
△ＡＢＤ∽△ＯＡＢ・・・・これがポイント
であることが出てきます。
これより　ＢＤ＝４／３
ＯＢ＝３より　ＯＤ＝５／３
△ＯＤＥ∽△ＯＢＣより
ＤＥ：ＢＣ＝ＯＤ：ＯＢ
∴ＤＥ＝ＢＣ×ＯＤ／ＯＢ＝２×（５／３）／３＝１０／９
ＡＤ＝ＥＡ’＝２ですから
ＡＡ’＝（　　）

お礼

よく分かりました。ありがとうございました。

回答No.1

townportal

ごり押しかもしれませんが、理論的に解ける方法を示します。
展開図を描くと、三角形AOA'はOA=OA'=3aと分かっているので、
この間の角AOA'が分かれば余弦定理よりAA'(=AD+DE+EA)が求まります。
以下手順。
(1)側面の三角形の頂角の余弦を余弦定理より求める
(2)余弦から正弦も求める
(3)加法定理または倍角公式より側面頂角の３倍角における余弦を求める
(4)△AOA'において二辺とその挟角の余弦((3)で求めたもの)より、余弦定理を用いてAA'を求める
問題ぱっと見で思いつく解き方が以上なのですが、計算量が多くなりそうです。
もっと賢い解き方があるかもしれませんね。

お礼

中学レベルではないみたいですけど、どうもありがとうございました。