緩和法の式

質問

テイラー展開の式変形のあたりが
よく解からないのですが、
これは結局、何を求めているのですか？

　ES+S=ES

s+(es)=s0 , e+(es)=e0

　ds/dt = k-1(es)－k1se

　　　　= k-1(s0-s)－k1s(e0+s-s0)≡f(s) (29)

If we let s* denote s concentration at equilibrium after the step change in reaction conditions, s* can be determined by solving

もし私達がs*に反応条件の段階変化の後に平衡でs濃度を示せるなら、s*は解くことによって決定できるだろ。

f(s*) = 0 (30)

where f(s) is the right-hand side of Eq29 and is equal to ds/dt.

ここでf(s)はEq29の右辺で、ds/dtと等しい

In any relaxation experiment s will be close to s*, and so we can approximate f(s) by the first terms in its Taylor expansion

任意の緩和実験でｓはs*に近づく。そして、私たちはそのテーラー展開の最初の表現でf(s)を求めることができる

f(s)～f(s*)+{df(s*)/ds}(s-s*)+ terms of order (s-s*)^2 and higher (31)

Letting x be the deviation from the equilibrium concentration

xを平衡濃度からの偏差とすると

x = s - s* (32)

and remembering that s* is time-invariant, we can combine Eqs29 to 32 to obtain the linearized mass balance [squared and higher-order terms neglected in 31]

dx/dt = -〔k-1+k1(e0-s0+2s*)〕x (33)

If the system is initially at the old equilibrium corresponding to conditions before the step perturbation

もし最初、系が段階摂動の前に条件と一致している古い平衡にあるなら

x(0) = Δx0

　x(t) = Δx0e^(-t/τ)

　1/τ = k-1+k1(e0-s0+2s*)=k-1+k1(e*+s*)

回答No.6

Julius · ベストアンサー

＃1,2,4です。

k-1は、ｋマイナス１ではなくて、一つの係数なんだと思います。
TeX風に書くと、k$_{-1}$

私も最初、rheartさんの文を読んだ時、勘違いしました。

k$_1$の逆反応の係数ということで、k$_{-1}$なんでしょう。

補足

すみません。
その通りです。
ちゃんと下付きと解かるように書くべきでした。

回答No.5

noname#6587

#3です。
f(s) = k-1 (s0 - s) - k1 s (e0 + s - s0)
が
f(s) = (k-1) (s0 - s) - k1 s (e0 + s - s0)

なら、納得、計算が合うんですがね。

　目が悪いのかな、私、、、

回答No.4

Julius

とりあえず数学的には正しそうですが...

f(s) = k-1 (s0 - s) - k1 s (e0 + s - s0)

df(s)/dt = - k-1 - k1 (e0 + s - s0) - k1 s

df(s*)/dt = - [k-1 - k1 (e0 - s0 + 2 s*)]

∴ f(s) = f(s*) + df(s*)/dt (s - s*) + d2f(s*)/dt2 (s - s*)^2 / 2 + ...

= 0 - [k-1 - k1 (e0 - s0 + 2 s*)] (s - s*) + Δ

f(x + s*) = d(x + s*)/dt = dx/dt + ds*/dt = f(x) + 0 なので、

f(x) = f(x + s*) ≒ - [k-1 - k1 (e0 - s0 + 2 s*)] x

回答No.3

noname#6587

私は電気設備業なので全くの畑違いなのですが、大胆にも回答してみました。

「テイラー展開の式変形のあたりが
よく解からないのですが、」

--> s*　は平衡点における sの値である、と思うんですが、その事は了解済みでしょうか。

平衡点から少しずれた状態での関数値f(s)は、
f(s)～f(s*)+傾き・(s-s*)　と近似できる。

　（というか、こう近似しないと数学的に難しいので良くやる方法です。これはテーラー展開で二次以上の項を無視したものです。線形近似したのですね。）

　で(33)式は、間違いじゃないですか?
(29)で k と k1 が別々の定数ならば 「傾き」の中に k は現れないと思うんですがね。
　あるいは式が何か違うんでしょうか。

　ともあれ、この算数の云わんとしている事は、
　「摂動をステップ状に加えると、最終的な平衡点にエクスポーネンシャルに近づいて行きます。」と云う、線形システムでは半ば自明のような事柄でしょう。

　その時定数（じていすう、緩和時間？）がk-1+k1(e*+s*)となる、とも云っていますが、私が計算すると何故かそうならない、、、ともあれ、平衡点での濃度 s* と 何か分らないけど e* で緩和時間が決まります、と言っているのでしょう。

回答No.2

Julius

下の回答の追記です。
よく式を見直したら、τは半減期の1.609(1/ln 2)倍です。
ついでに以下の文を翻訳しておきますと：

"and remembering that s* is time-invariant, we can combine Eqs29 to 32 to obtain the linearized mass balance [squared and higher-order terms neglected in 31]"

「s*が時間に依存しないことを考慮すれば、式29と式32から線形の質量平衡式が
得られる(31式の2乗及びより高次の項は無視する).」

回答No.1

Julius

Taylor展開でやることと言えば、近似式を導くことです。

定常状態になれば(29)の微分式ds/dt = f(s) = 0となります。
つぎにこのf(s)をs = s*周りでTaylor展開してやり、
(s-s*)^2の項以下を切り捨ててしまえば、(33)式に変換できる。
最後に(33)式を初期条件とx(t) = Δx0e^(-t/τ)から求めると、
最後の式が求まる。

で、私はこの英文の前を知りませんが、
最後の式から求めたいものはτであることが分かります。
このτは酵素反応か何かの「半減期」じゃないでしょうか？