逆ラプラス変換の求め方でアドバイス下さい（簡易説明法）

質問

逆ラプラス変換の求め方ですが、正式にはフーリエ変換で求めるようですが、しかし私にはかなりレベルが高くピンときません。そこで、簡便法ですが下記でも求められそうです。（一つの考え方というレベルでのことですが）
しかし、6)の「式としては lim[x -> 0] は lim[x -> t] （t は >=0 の任意の値） としても成り立つ・・・」というところですがラプラス変換は ∫[0～∞] の定積分ということとマッチしてないような気がします。
たぶんこの求め方自体が邪道（数学的にはかなりいいかげんな気がしてます、また本当に正しいかどうかさえ私のレベルではわかりません）の類のような気がしてますが、簡易説明法の類としてもう少しましな物にならないかな・・・ということで詳しい方にお尋ねします。
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L;ラプラス変換 e^(st);e f(t);f IL;逆ラプラス変換 'n ; n回微分 と省略します。

1) ラプラス変換は、 L = ∫[0～∞] f/e dt の定積分ですが とりあえず f の式形を残したいので不定積分します。（以下 dt は省略）

2) これを部分積分しますと、L = ∫f/e = -f/es + ∫f '/es = -f/es + L'/s となります。
L'を順次展開して L = -Σ[n = 0～∞] f 'n / es^(n+1) と無限級数とすることにより L'n をとり除くことができます。

3) ここで、ラプラス変換は定積分なので、これはとりあえず積分範囲の下限 0 を可変にして x とおくと， L変換できる関数は、上限の∞では f(∞)/se^(s∞) =0 ですので
L = lim[x -> 0] {+Σ[n = 0～∞] f 'n (x)/ ( e^(sx)s^(n+1) )} となります。

4) 逆変換は線積分で、 IL = (1/2πi)∫[γ- i∞ ～γ+ i∞] e^(st)L ds
これは留数ですので周積分でも求めることができます、（以下ds は省略）またL中の x は可変ですので (ILでのt) = x として以下省略します。

IL = (1/2πi)∫eL = (1/2πi) lim[x -> 0] {+Σ[n = 0～∞] ∫f 'n / s^(n+1)}

5) f 'n はdsには無関係で、また留数は n = 0 以外は 0 なので． 結局
IL = (1/2πi) lim[x -> 0] f∫1/ s 、s = e^(iΘ)とすると、 ds/dΘ = is 、
IL = (1/2πi) lim[x -> 0] f∫[0,2π] is/s dΘ = lim[x -> 0]f(x)

6) 式としては lim[x -> 0] は lim[x -> t] （t は >=0 の任意の値） としても成り立つのでIL = f(t) とすることができる・・・のかな？

無理やりにでもこじつければ、t のすべての範囲で式形が同じなので・・・・とでも言えば何となくそうも思えるのですが・・・私のレベルでは頭がこんがらがってお手上げになってしまいました。

回答No.2

guuman · ベストアンサー

t→-∞であっても
０とは限らない始まりがある場合
や
t→-∞で急減少な関数は発散しないだろう
わての回答にそう書いてなかったか？
よく読めよ
だいたい始まりを０にしてしまうと
δ（t)はt=0でラプラス変換できなくなるのだよ
強引に１としてつじつまをあわしているがな

（両側）ラプラス変換はそもそもフーリエ変換その物なんじゃわ
フーリエ変換を知らずしてラプラス変換を語るなかれじゃい

フーリエ変換：
X(ω）=∫[t:-∞～∞]dt・x(t)・exp(-i・ω・t)

フーリエ逆変換(超関数空間で成立するフーリエの反転公式):
x(t)=∫[ω:-∞～∞]dω・X(ω)・exp(i・ω・t)/2/π

これらの式において
x(t)をx(t)・exp(-σ・t)に置き換えるとどうなるか
つまりx(t)・exp(-σ・t)をフーリエ変換するとどうなるか

Xσ(ω）=∫[t:-∞～∞]dt・x(t)・exp(-σ・t)・exp(-i・ω・t)
すなわち
Xσ(ω）=∫[t:-∞～∞]dt・x(t)・exp(-(σ+i・ω)・t)

フーリエ逆変換(フーリエの変転公式)はどうなるか

x(t)・exp(-σ・t)=∫[ω:-∞～∞]dω・Xσ(ω)・exp(i・ω・t)/2/π
すなわち
x(t)=∫[ω:-∞～∞]dω・Xσ(ω)・exp((σ+i・ω)・t)/2/π

ここで
s=σ+i・ω
とおくと

フーリエ変換は
Xσ(ω）=∫[t:-∞～∞]dt・x(t)・exp(-s・t)
X(s)を再定義してXσ(ω）をX(s)と書くと
X(s)=∫[t:-∞～∞]dt・x(t)・exp(-s・t)

フーリエ逆変換は
x(t)=∫[ω:-∞～∞]d(σ+i・ω)・Xσ(ω)・exp((σ+i・ω)・t)/i/2/π
すなわち
x(t)=∫[s:-i・∞～i・∞]ds・X(s)・exp(s・t)/i/2/π

どうじゃ、全く同じじゃろ
σは指数関数的にt→∞に向かって絶対値が増える関数を変換可能にするために用意されたもので必要に応じていくらでも大きくとれる
つまり右側にどんなに大きく指数関数的に絶対値増大するものであってもσを大きくしていったら変換可能ということになる
もちろん左に絶対値増大するとアウトなので0以下を0とするのが片側変換
0とは限らないで有限のある値以下を0とするものが両側変換だ
もちろん両側変換は左側急減もOK

補足

guumanさんの言われることがやっとわかりました。 逆変換で式を復元する式中では私もラプラスは両側変換で出すのが本当だと思います。どうもラプラスはt>0と無意識に思い込んでいたようです。考えてみれば私の質問の中でも 『 6) 式としては lim[x -> 0] は lim[x -> t] （t は >0 の任意の値） としても成り立つので・・・』としていましたがt<=0 を制限するものは特にないようです。 というのはe^(st) は逆変換で相殺されてしまうからです。 逆フーリエ変換式から逆ラプラス変換式を導出する際にラプラス変換の定義域をt>0 （つまりt=<0でf(t)=0、なので L = ∫[0～∞]）としている理由は私もフーリエはまだこれから、ラプラスもさわりだけという程度なのでわかりませんが、しかしguumanさんが主張されているなら・・どうでしょう、結局、私のレベルではまだこれからフーリエを勉強しないとだめなのでしょうが私も特になにかあるとも思えません、なのでありがたく拝聴させていただきます。
ただ思い当たることといえば、ラプラスはエンジニアリング分野では∫[0～∞] つまり (1/e^(s0)) = 1 でSだけの式としたF(s)をラプラスの特性により分解等して変換表を見るということが一番実用的なのでそうしている（また実用品としてのラプラスの性質を研究するには現実にならってそう定義したほうが研究しやすかった・・？）のではないか？なとも思ったりしてます。
しかしフーリエ変換で保証されているとはいえ、それでも逆変換で復元できるということはやはり不思議で、留数をかじった程度でフーリエを本当にものにするにはあと何年かかるかわからん・・・という程度の者（私ですが）でも「ああそういうメカニズムなのか・・・」ということが腑に落ちるというか、そういう類の説明はどこかにないかなあ・・・と、なんといいますか、厳密でなくとも、ショートカットというか簡便法というか、そういうものが出来ないかな？と考えて質問させていただいた次第です。ということでまた参考になることがあればよろしく願います。

回答No.4

guuman

文脈から判断しにくい間違いがあったので修正

主に制御回路にて使用されるラプラス変換だが
制御回路は安定かどうかを解析することが重要なんじゃ
制御回路の出力が
安定でありあるいは振動的だが時間とともに絶対値増大しなければ
フーリエ変換で対処できる
しかし安定解析のためには
時間とともに指数関数的に絶対値増大していく場合も解析しなければならない
しかしこの場合はフーリエ変換できない
そこでラプラス変換が必要になった
フーリエ変換は有界な関数しか変換できないが
ラプラス変換は指数関数的に絶対値増大できる関数を変換できるからだ
ラプラス変換がこのような関数を変換できる理由は既に述べたように
実体が
x(t)・exp(-σ・t)
をフーリエ変換するものだからだ
ただしこれだと過去にむかって絶対値増大してしまう
そのためx(t)のある時点より過去を０にしてそれを回避しているのじゃ
その時点をt=0とするのが（片側）ラプラス変換
ある時点より過去を０とするがその時点は設定しないのが両側ラプラス変換じゃ
例えば
ラプラス変換だとt=-9で初期条件が与えられた微分方程式を解くときに時間シフトをしなければならないが
両側ラプラス変換はそういう細工をしなくてもそのままできる
巷のラプラス変換表は片側変換の表であるが
両側ラプラス変換の表は簡単に作れるので困ることはない
ラプラス変換表は綺麗で簡潔である

そもそもラプラス変換のほうが複素解析しなければならないのでフーリエ変換より難儀なはず
フーリエ変換のが簡単なのになぜフーリエ変換を避けるのか
ラプラス変換はフーリエ変換の変形なので避けると本質が分からなくなる

お礼

どうもこれ以上の進展はなさそうなのでここで一応の区切りとしてお礼いたします。
補足の式中で周積分がわかりにくいのでこれは∫[c]と記述して再掲させていただきます。
またなにかありましたらご教授よろしく願います。
L =∫[t ～ ∞] f(t)/e^(st) dt = Σ[n = 0～∞]f 'n(t) /( e^(st)・s^(n+1))
IL = (1/2πi)∫[γ- i∞ ～γ+ i∞] e^(st)・L ds = (1/2πi)∫[c]e^(st)・L ds
= (1/2πi) Σ[n = 0～∞]∫[c]f 'n(t) / s^(n+1) ds = (1/2πi) f(t)∫[0,2π] is/s dΘ = f(t)

t^n で検算すると、F(s) = lim[t -> 0]Σ[n = 0～∞] f 'n(t) /( e^(st)・s^(n+1)) = n!/s^(n+1)
ちなみに逆変換は上の式形では出て当たり前なので、通常どおり周積分してみます。
IL = -(1/2πi) [始点 , 終点]{ e^(st)・Σ[m = 0～n-1](n-1-m)!・t^m・s^(-n+m)} + (1/2πi) (t^n・∫[c]e^(st)・1/s ds) ※部分積分法で分解、周積分では 始点 = 終点
= 0 + (1/2πi) (t^n・lim[s -> 0]∫[0,2π] e^(st)・s/s・i dΘ) = (1/2πi) (t^n・2πi ) = t^n

補足

Ano.3では考えがまとまらずトンチンカンなことを言ったようです。
結局、質問中の式は独自の簡便式ということで、通常のラプラス変換式にとらわれず独自に定義してそのように扱えばいいだけのようです。 なので、意見を参考に最終的に下記でまとめました。
L =∫[t ～ ∞] f(t)/e^(st) dt = Σ[n = 0～∞]f 'n(t) /( e^(st)・s^(n+1))
IL = (1/2πi)∫[γ- i∞ ～γ+ i∞] e^(st)・L ds = (1/2πi)∫e^(st)・L ds
= (1/2πi) Σ[n = 0～∞]∫f 'n(t) / s^(n+1) ds = (1/2πi) f(t)∫[0,2π] is/s dΘ = f(t)

t^n で検算すると、F(s) = lim[t -> 0]Σ[n = 0～∞] f 'n(t) /( e^(st)・s^(n+1)) = n!/s^(n+1)
ちなみに逆変換は上の式形では出て当たり前なので、通常どおり周積分してみます。
IL = -(1/2πi) [始点 , 終点]{ e^(st)・Σ[m = 0～n-1](n-1-m)!・t^m・s^(-n+m)} + (1/2πi) (t^n・∫e^(st)・1/s ds) ※部分積分法で分解、周積分では 始点 = 終点
= 0 + (1/2πi) (t^n・lim[s -> 0]∫[0,2π] e^(st)・s/s・i dΘ) = (1/2πi) (t^n・2πi ) = t^n

回答No.3

guuman

主に制御回路にて使用されるラプラス変換だが
制御回路は安定かどうかを解析することが重要なんじゃ
制御回路の出力が
安定でありあるいは振動的だが時間とともに絶対値増大しなければ
フーリエ変換で対処できる
しかし安定解析のためには
時間とともに指数関数的に絶対値増大していく場合も解析しなければならない
しかしこの場合はフーリエ変換できない
そこでラプラス変換が必要になった
フーリエ変換は有界な関数しか変換できないが
フーリエ変換は指数関数的に絶対値増大できるからだ
ラプラス変換が変換できる理由は既に述べたように
x(t)・exp(-σ・t)
をフーリエ変換することだからだ
ただしこれだと過去にむかって絶対値増大してしまう
そのためx(t)の右側をある時点より過去を０にしてそれを回避しているのじゃ
その時点をt=0とするのが（片側）ラプラス変換
ある時点より過去を０とするがその時点は設定しないのが両側ラプラス変換じゃ
例えば
ラプラス変換だとt=-9で初期条件が与えられた微分方程式を解くときに時間シフトをしなければならないが
両側ラプラス変換はそういう細工をしなくてもそのままできる
巷のラプラス変換表は片側変換の表であるが
両側ラプラス変換の表は簡単に作れるので困ることはない
ラプラス変換表は綺麗で簡潔である

補足

ラプラスもあちら立てればこちらが立たずと言うわけですね。 世の中一度広まってしまうとなかなか変え難いもののようです。
guumanさんはラプラス変換（変形されたフーリエ変換）に詳しい方なのでもう一つ教えていただきたいことがあります。わたしの質問では定積分で変換したものを逆変換に渡す時点で、『F(s) = lim[x -> 0] {+Σ[n = 0～∞] f 'n (x)/ ( e^(sx)s^(n+1) )} --> xを逆変換中のxに連結、なので逆変換にもlim[x -> 0]を付加、最終的には逆変換はdsでの積分なのでx->0 を要求するものではないのでlim[x -> 0]は記述的にはなくても良い』という論法でやってます。（※ラプラスなので定義どおりxのlimは0 としてます、すべての積分範囲に適用するためには始めから、例えばある定数 a 等を導入してlim[x -> 0] t = x+a と置き、最後に「すべての a について成り立つ」とでも書けばよいのでしょうが・・・話が複雑になるので質問ではやめました）
ただ本来の逆変換中にも *e^(sx) がありますので直感的にはなんとなくいけそうな気もします。たしかにF(s) = lim[x -> 0]{・・・} は『無限に等しい（ニュアンスとしては定積分値（単なる値）をlim[x -> 0]で式化できる）』とも思えますが幽霊のようにxを生かしたまま逆変換に渡す（xで連結するという意味です、sは暗黙で連結されてるようですが）のは、しかし数学的にはかなり無茶苦茶な感じもしてます。ここいら辺のからくりはフーリエではどのように保証しているのでしょうか？（概念的な説明でも結構です。 というか私のレベルではそれ以上では多分理解不可能だと思いますので）また、ひょっとしてラプラス変換のt=0近辺の挙動というか、何かそういうものに関係があるでしょうか？

回答No.1

guuman

あまり文字が多いので目が回るので初めの方しか読んでいないが
基本的に認識が間違っている
ラプラス変換はそもそもフーリエ変換の拡張でほとんど同じものである
だからラプラス逆変換もフーリエ逆変換と実質的に同じものである
ただ、その拡張により複素関数論が適用できるので留数を使った方法が利用できそれが逆変換の積分範囲にも反映されている
変換の積分範囲が０からになっているのは人為的なものでありこの様な制限を設けた片側ラプラス変換は欠点を持つ
物事には始まりがあるのでその時点を０にすることによって便宜を図っただけである
この便宜によって片側ラプラス変換の変換表はきたなくなってしまった
これに対して両側ラプラス変換表は変換表が綺麗で少なく覚える必要がない
両側変換は起点を０に限定しないで始まりがあるか無限の過去から始まっていても過去に向かって急減少ならばいいので応用範囲も広く
フーリエ変換の積分範囲と同じなので両者の関係がはっきりする
なおこれは片側z変換と両側z変換にも通じる
両側変換を使いなされ

補足

両側ラプラスですか、フーリエと一緒においおいと勉強しようと思います。 この質問でのラプラス変換は積分範囲の下限を変数とする式になっていますのでやはり逆ラプラス変換で復元するためには片側ラプラスが自然な気がします。また1/e^(s∞) がf(∞)のキャンセラーもかねているようですのでt<0では発散しやすくなるような気がします。ところで部分積分でつくった級数ですがなんという級数ですかね？多分ラプラス級数とかでもいうのでしょうか？ この質問をしたのもラプラス変換が級数になってラプラスの微分式を無限の先に消せるので、もしや逆変換にも関係しているのでは？と思ったものですから、どうもグーグルで調べるにも時間ばかりかかって、いっそ詳しい人なら知っているだろうとも期待して質問させてもらったんですが、誰かここいらのこと知っている方いませんかねえ？ ヒントだけでも嬉しいです。