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恒等式について教えてください
【問題】 a,bを実数とする。ただしa>0、a≠1 ２曲線 y=log(a)bx y=a^x+b が直線y=x+2上で整数を座標にもつ２点で交わるとき、a、bの値を求めよ …………………………… 自分は交点のx座標をm、n(m、nは任意の整数かつm≠n、真数条件よりm>0、n>0)とおき ２交点を(m,m+2)、(n,n+2)と設定し ・log(a)bm=a^m+b=m+2 ・log(a)bn=a^n+b=n+2 という関係式から a^2(m+n+4-2b)=b(m+n) という関係式を導き出し 、これは恒等式だろと思い (a^2-b)m+{(a^2-b)n+2a^2(2-b)}=0 とし、mとnについての恒等式から a^2-b=0 2-b=0 よってb=2、a=√2(∵a>0) と出て 解答を見たら答えはあっていました けれど、一番初めに『m、nは整数…』などとm、nに縛りを与えておきながら、通常なら『全ての実数において』なりたつ恒等式を使っているのはおかしいんじゃないか？と思いました ところで、解説はやはり恒等式ではない解き方でした。 やはり自分解法は間違いでしょうか？
- Kurasaki
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間違い。答えが当たったのは、偶然でしょう。 交点の座標を m, n で置いたのだから、 m, n は未知数(未知の定数)であって、 変数ではありません。 よって、その式は方程式であって、 恒等式ではありません。 この間違いは、m, n が整数値か実数値かではなく、 定数か変数かの違いから生じています。 答案に「恒等式」と書いた時点で 0 点でしょう。
その他の回答 (1)
- Tacosan
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当然「恒等式」とはいえない. 整数 n に対して sin nπ = 0 だけど, n を実数とすると恒等式にはならないよね.
お礼
ですよね ありがとうございます
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