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分かりません

座標平面上の点であって、x座標,y座標とも整数であるものを格子点と呼ぶ。0以上の整数nに対して|x|+|y|≦nを満たす格子点(x,y )の個数をAnと置く。更にBn=ΣAk(Σの上にn、下にk=0って書いてある)と置く。次を求めよ。 問1、An 問2、Bn 問3、lim n →∞ nの3乗分のBn よろしくお願いします。 

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● 最初に第一象限に限って考察し、後で1~4象限に付いて考える。 第一証言について考えると、nを固定するとy+x≦nの格子点だから、これは直線y=n-xとx軸、y軸に囲まれた三角形の中の格子点の数になる。(y+x=nをふくむので、この直線上の点を含む。)この点の数を斜めに数えると、 n=0→(0,0)の1個 n=1→(1,0),(0,1)の2個 以下同様に、 nのとき(0,n),・・・・,(n,0)の(n+1)個になるから、 ※ここもポイントだ!!n個としないように!! 第一象限の格子点は(x軸、y軸上をふくめ)  1+2+・・・・+(n+1)=(1/2)・(n+1)(n+2)個 これから4象限では (1/2)・(n+1)(n+2)個×4-(n×4+3)=2・n^2+2・n+1 ※4回足すとx軸、y軸上の1~nのn個を4回分,原点(0,0)は3回分余計に足しているからその分引いておく。(重なるところを良く調べてください。) ◆ans. An=2・n^2+2・n+1 ●2) Bn=Σ{2・n^2+2・n+1}=2・{Σn^2}+2・{Σn}+Σ{1} =2・(1/6){n・(n+1)・(2n+1)}+2・(1/2)n・(n+1)+n =(1/3){n・(n+1)・(2n+1)}+n・(n+1)+(n+1) ※Σ(n=0→n){1}=n+1に注意!!・・・・・・・↑ =(1/3)(n+1){2・n^2+4・n+3} ●3) lim(n→∞){Bn/(n^3)} =lim(n→∞){(1/3)(n+1)(2・n^2+4・n+3)}/(n^3) =lim(n→∞)(1/3)(1+(1/n)){2+(4/n)+(3/n^2)} =(1/3)(1){2}=2/3 ※ 1)は一度に正方形で考えたほうが早いかもしれないが・・・ 2)はnを含む項はかまわないがΣ(n=0→n){1}=n+1には注意する必要がある。n=0のときもBn=1なのだから・・・ 公式だけでなく、検算等により求めた値が正しいかどうかを確かめる必要がある。 B0=1,B1=1+5=6,この二つだけを検算するだけでも微妙なところの間違いを見つけることができる。 自分は特に計算ミスが多い人間なので、チェックをお願いします。

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質問者からのお礼

本当に助かりました。

その他の回答 (2)

  • 回答No.3

#2です。やっぱりミス ●2) Bn=Σ{2・n^2+2・n+1}=2・{Σn^2}+2・{Σn}+Σ{1} =2・(1/6){n・(n+1)・(2n+1)}+2・(1/2)n・(n+1)+n+1            最後の1が消えてる!!・・・・・・・・・・・・・・・・・↑                                          

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  • 回答No.1
  • wakko777
  • ベストアンサー率22% (1067/4682)

問題の丸投げは禁止です。 どこまでできてどこからわからないか、明記してください。

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質問者からのお礼

すいません・・・

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