分かりません

質問

座標平面上の点であって、ｘ座標,ｙ座標とも整数であるものを格子点と呼ぶ。０以上の整数ｎに対して|ｘ|+|ｙ|≦ｎを満たす格子点（ｘ,y
)の個数をAｎと置く。更にBｎ＝ΣAｋ（Σの上にｎ、下にｋ＝０って書いてある）と置く。次を求めよ。

問１、An
問２、Bn
問３、lim n　→∞　ｎの３乗分のBn

よろしくお願いします。

回答No.2

ichiro-hot · ベストアンサー

●　最初に第一象限に限って考察し、後で１～4象限に付いて考える。
第一証言について考えると、ｎを固定するとｙ＋x≦ｎの格子点だから、これは直線ｙ＝n-xとx軸、y軸に囲まれた三角形の中の格子点の数になる。（ｙ＋ｘ＝ｎをふくむので、この直線上の点を含む。）この点の数を斜めに数えると、
ｎ＝０→（０，０）の1個
ｎ＝１→（１，０），（０，１）の2個
以下同様に、
ｎのとき（０，ｎ），・・・・，（ｎ，０）の（ｎ＋１）個になるから、
※ここもポイントだ！！ｎ個としないように！！
第一象限の格子点は（x軸、y軸上をふくめ）
　１＋２＋・・・・＋（ｎ＋１）＝(1/2）・（ｎ＋１）（n+２)個
これから4象限では
(1/2）・（ｎ＋１）（n+２)個×４－（ｎ×４＋３）＝２・ｎ＾2＋２・ｎ＋１
※4回足すとx軸、y軸上の１～ｎのｎ個を4回分，原点（0，0）は３回分余計に足しているからその分引いておく。（重なるところを良く調べてください。）
◆ans.　An＝２・ｎ＾2＋２・ｎ＋１

●２）
Bn＝Σ｛２・ｎ＾2＋２・ｎ＋１｝＝２・｛Σｎ＾2｝＋２・｛Σｎ｝＋Σ｛１｝
＝２・（1/6）｛ｎ・(ｎ＋１）・（２ｎ＋１）｝＋２・（1/2）ｎ・（ｎ＋１）＋ｎ
＝（1/3）｛ｎ・(ｎ＋１）・（２ｎ＋１）｝＋ｎ・（ｎ＋１）＋（ｎ＋１）
※Σ（ｎ＝０→ｎ）｛１｝＝ｎ＋１に注意！！・・・・・・・↑
＝（1/３）（ｎ＋１）｛２・ｎ＾2＋４・ｎ＋３｝

●３）
lim（ｎ→∞）｛Bｎ/（ｎ＾３）｝
＝lim（ｎ→∞）｛（1/３）（ｎ＋１）（２・ｎ＾2＋４・ｎ＋３）｝/（ｎ＾３）
＝lim（ｎ→∞）（1/３）（１＋（１/ｎ））｛２＋（４/ｎ）＋（３/ｎ＾２）｝
＝（1/３）（１）｛２｝＝２/３

※　１）は一度に正方形で考えたほうが早いかもしれないが・・・
２）はｎを含む項はかまわないがΣ（ｎ＝０→ｎ）｛１｝＝ｎ＋１には注意する必要がある。ｎ＝０のときもBn＝１なのだから・・・
公式だけでなく、検算等により求めた値が正しいかどうかを確かめる必要がある。
B０＝１，B１＝１＋５＝６，この二つだけを検算するだけでも微妙なところの間違いを見つけることができる。

自分は特に計算ミスが多い人間なので、チェックをお願いします。

お礼

本当に助かりました。

回答No.3

ichiro-hot

＃２です。やっぱりミス
●２）
Bn＝Σ｛２・ｎ＾2＋２・ｎ＋１｝＝２・｛Σｎ＾2｝＋２・｛Σｎ｝＋Σ｛１｝
＝２・（1/6）｛ｎ・(ｎ＋１）・（２ｎ＋１）｝＋２・（1/2）ｎ・（ｎ＋１）＋ｎ＋１
　　　　　　　　　　　最後の１が消えてる！！・・・・・・・・・・・・・・・・・↑

回答No.1

wakko777

問題の丸投げは禁止です。
どこまでできてどこからわからないか、明記してください。

お礼

すいません・・・