2次関数の場合分けの問題

質問

以下の問題について途中まで考えてみましたが、その後どう進めていいか分からなくなってしまいました。先生にも質問したのですがその解説も分からないので、合わせて質問させて頂きます。

【問題】
f(x)=X^2+ax+a+1という2次関数について、0≦x≦2のとき、常にf(x)≦0となるのはa≦[ ]である

【自分の解答】
与式を平法完成して、(x+a/2)^2-a^2/4+a+1

次の3つに場合分けをする。

(i)頂点のx座標が0以下のとき　（a/2≦0のとき）

(ii)頂点のx座標が0≦x≦2のとき　（0≦-2/a≦2のとき）

(iii)頂点のx座標が2以上のとき　（-a/2≦2のとき）

この後の進め方を先生に質問したところ、
「あとはそれぞれの場合に0≦a≦2の範囲での最大値がどれかを調べて、最大値が0以下になるようなaの値を計算すればいいよ」

と言われたのですが、
(1)なぜ最大値なのでしょうか？

(2)『最大値が0以下になるようなaの値を計算すればいい』とはどういうことでしょうか？
たとえば(i)で最大値はx=2のときで、f(2)=3a+5

3a+5＜0　∴a＜-5/3

となりますが、正直「だからなんだ？！」という感じです……。

ご回答、よろしくお願いいたします。

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

＞(1)なぜ最大値なのでしょうか？

0≦x≦2のとき、常にf(x)≦0という事は、0≦x≦2の範囲の全てのxについて、f(x)は0より小さいと言うんだから、最大値が0以下になるようなものを考えたらいいんじゃないの。
逆に、0≦x≦2のとき、常にf(x)≧0　の時は、最小値≧0を考える事になる。

ところが、(x+a/2)^2-a^2/4+a+1とすると、0≦x≦2という条件で　軸の位置によって最大値が変わってくる。
だから、場合わけが必要になる。

(別解)

X^2+ax+a+1≦0より、X^2＋1≦-a*(x+1)であるから、0≦x≦2の範囲で、放物線：y＝X^2＋1より、定点(-1、0)を通る直線：y＝-a*(x+1)が常に上にある条件を求める。
とすると、場合わけの必要もない。簡単に求められる。

回答No.1

noname#152422

そもそも場合わけしたい理由は何でしょう？

fは凸関数だから、単にf(0)≦0かつf(2)≦0だけでいいような。