≪確率≫の問題 ～公務員試験問題～

質問

袋の中に１から10までの札が入っておりＡとＢ２人がＡから始めて交互に一枚ずつ札を取り出す。ただし、取り出した札は元に戻すとする。
　このとき、10の札を先に取ったほうを勝ちとする。ＡとＢそれぞれ勝つ確率をaとbとする。
　Ａが勝つ場合は、最初に１０の札をとるか、最初に10の札をとらないでＢより先に10の札をとる時であるが、これに着目すると、aとｂの値として正しいものはどれか？

解答
ＡかＢのどちらかが必ず勝つことから
a + b = 1

最初にＡが１０の札をとる確率を1/10、１０をとらない確率は9/10で、Ａが最初に１０の札を取らないで勝つ場合、次はＢの番だが、Ｂから始めたと考えれば、Ａの勝つ確率はｂである。したがって、

a = 1/10 + 9/10・b　となる.

２つの式を連立して　a = 10/19 b = 9/19

ここで質問です。

aの勝つ確率がa = 1/10 + 9/10・b　と表わされていますが、
なぜ、Ａが最初に１０の札を取らないで勝つ確率が　9/10・ｂ　になるのですか？

どうかよろしくお願いいたします。

回答No.1

vec172 · ベストアンサー

まず前提として

Ａ＝１回目に札をひきはじめるひと
Ｂ＝２回目に札をひきはじめるひと

だから

a=１回目に札を引いて、その後（１回目も含めて）結果的に１０の札をひく確率
b=２回目に札を引いて、その後（２回目も含めて）結果的に１０の札をひく確率

になることを確認しておきます。

さてaについて。

aが起こる場合は、重ならないように場合わけすると

（１）一回目に１０の札を引く場合
（２）２回目以降に１０の札を引く場合

があります。

（１）の場合は1/10の確率でおこり

問題の（２）の場合は

まず一回目で１０以外の札を引き（9/10）、２回目に札を引いて、その後（２回目も含めて）結果的に１０の札をひく（ｂ）場合といいかえられるので、全体としては9/10・bの確率で起こります。

しかがって

a = 1/10 + 9/10・b　

となります。

お礼

とてもわかりやすかったです。
取った後戻すことを十分に考えなくてはいけませんでした。
ありがとうございました。