>If I make any English mistake, Please correct me.
細かい所から。
If I make any English mistakes, please correct the errors.
ですね。correct meでは「私を罰してください」になりかねません。ただし、口語ではOKですので、間違いということではありません。それとmistakesと複数のほうがいいでしょう。
>If you give him any help とありsomeにするとｈelpの期待感が高くなる
この文なら、そうです。ただ期待感というのは、話し手の相手の助け度合いに対する期待感で、anyなら「ちょっとでもいいから手伝って欲しいな」で、someなら「仲良く一緒にやってくれないかな」といった感じです。
元の文に戻ると、someを使ってはいけません。「いい加減にやるから、いっぱいミスするはずだよ」といった、投げやりな感じのニュアンスになりかねません。anyなら「気を付けるけど、もしかするとミスするかもしれません」と真面目に頼んでいることになります。
>あとmakeのあとにshouldがはいるとミスする可能性は低いと考えていることになるのでしょうか？
makeの前にshouldですね。shouldは確かに「…のはずだ」「きっと…だろう」という意味で使えます（辞書にそう書いてありますね）。ただ、私の見聞きした範囲では、ほとんどそういう使い方はされていません。
それはさておき、そういう意味でのshouldを使うとすると、この文では、やはり不自然です（文法エラーではないですが）。「間違ったら直してください」と頼んでいるのですし、ifという語とも相性が悪い（もし…はずだから、は変ですよね）。
しかし、自信がなくて間違いはあるはず、ということで頼むなら、文を書き直す方がいいでしょう。
I'll do my best, but there must be some mistakes. If you find any English mistakes, please correct the errors.
が、原文に近い直しかたかな？ 前もって断りを入れておくわけですね。
お礼
わかりました。ありがとうございました。