円柱の熱伝導式

質問

長さL、直径D1、熱伝導係数k1の円柱が温度T1の物体に埋め込まれており、円柱の片端面のみが温度T2の物体に接触している場合の円柱の熱伝導式を教えてください。

また上記の円柱を円柱1としたとき、図のように内部に直径D2、長さ(L-1)、熱伝導係数k2の円柱2が埋め込まれている場合の円柱1と円柱2全体の熱伝導式も教えてください。
このときの円柱1と円柱2の熱伝達係数はcです。

よろしくお願いします。

回答No.1

sat000

ｒ、zの2次元ということでしょうか。
数式自体は普通に
ρ Cp ∂T/∂t = λ(∂2T/∂r2 + (1/r)∂T/∂r + ∂2T/∂z2)
と思いますよ(ρは密度、Cpは比熱、λは熱伝導率)。
ただ、解析的には一般には解けませんので数値的に解くことになるかと思います。
数値的に解くには様々なテクニックがありますが、書ききれませんので省略します。
有限要素法、差分法(あるいはその発展型のBFC法)、境界要素法等、主として好みで(と私は思ってます)使うことになるでしょう。
温度が～とか、～が～に埋まってとか、そういったことは、数値的に解く際の境界条件になります。
熱伝達係数cというのが導入されてますが、接触熱伝達を考えたいということなんでしょうね、きっと。
その場合は見た目に境界は一つでも、数値解析コード内部で2つに仮想的に分けて考えて、それぞれの境界をB1、B2とでも置き、B1の温度をT1、B2の温度をT2とすると、熱流束はc (T1-T2) で、これがその境界に入ってくる(あるいは出ていく)熱流束-λ∂T/∂n (n は境界に垂直方向)と等しいことになります(発熱・吸熱をしない)。
あとはそれぞれの領域B1側とB2側を解けば良いと思います。