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(1) 2x+3y≦6n, x≧0, y≧0 (aは正の整数) を満たす点P(x,y)で、x,yがどちらも整数であるもの(格子点)の個数を求めよ。 (2) 2x+3y+6z≦6n, x≧0, y≧0 z≧0 (aは正の整数) を満たす点P(x,y,z)で、x,y,zがすべて整数であるもの(格子点)の個数を求めよ。 という問題で、 (1)は不等式を図示して y=k(k=1,2・・・)とy=-(2/3)x+2n の交点は( 3n-(3/2)k , k ) 交点が整数であるために2k=mとおくと、 y=m上の格子点の数は 3n-3m+1 よって、1≦y≦2nにおいて、y=(偶数)上の格子点の数は Σ[m=1,n](3n-3m+1) =(3/2)n^2-(1/2)n また図から、y=2k-1上の格子点の数は y=2k=m上の格子点の数より1多いので、 1≦y≦2nにおいて、y=(奇数)上の格子点の数は Σ[m=1,n]{3n-3m+2} =(3/2)n^2+(1/2)n y=0上の格子点の数は3n+1より、 求める値は (3/2)n^2-(1/2)n+(3/2)n^2+(1/2)n+3n+1 =3n^2+3n+1 ここまでは分かりました。 (2)はどうやっていいか手の付け方も分かりません。 (1)を使って簡単にして解くような気はします(分かりませんが)。 分かる方お願いします。
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[問題] 素数pに対してpx^2+xが整数となるような有理数xをすべて求めよ。 これを取り扱った授業では次のような解説がありましたが、(4)の式から【 】部へともっていく論理の展開が分かりません。 ―・―・ー・―・― [解答] xは有理数ゆえ、x=n/m …(1) とおける。 (m,nは互いに素な整数で、m>0 …(2)) これを与式に代入して、 p(n/m)^2+(n/m)=k (k:整数) …(3) とすれば、 k=(pn^2+mn)/m^2 ={n(pn+m)}/m^2 …(4) 【mとnは互いに素ゆえ、kが整数となるには素数pがmの倍数、つまりmはpの約数であることが必要。】 ∴m=1 or p (i) m=1のとき (4)よりk=n(pn+1)となるから、n,pは整数より、kも整数となり成立。 このとき(1)より x=n (ii) m=pのとき (4)よりk={n(pn+p)}/p^2={n(n+1)}/p m(=p)とnは互いに素より、n+1がpの倍数と分かり n+1=pl (l:整数) …(5) とおけば、k=nl(=整数) となる。 このとき(1)、(5)より x=n/m=(pl-1)/m =(pl-1)/p=l-(1/p) 以上(i)、(ii)より x=n または x=l-(1/p) (n,lは任意の整数) ―・―・―・―・― 僕の思考回路としては、(4)の式を見て、kが整数ということは 分子のn(pn+m)がm^2を因数にもつ、 つまりn(pn+m)=●m^2 (●:整数) と考えたのですが、この後の進め方が分からず手が止まりました。 解説の論理展開の意味がお分かりの方、ご教授ください。
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お礼
なるほどー。参考にしてやってみます