抵抗力のある場合の物体の運動

質問

あるモーターボートの速さが10m/sとなったときエンジンを止め、そのまま惰性で走る。この期間のモーターボートの運動を支配する方程式はv=ｖ0e＾－ｃｔである。vは時刻tにおける速さ、v0は初速、cは定数である。t＝20における速さは5m/sである。
(a)定数cを求めよ。
(b)t=40m/sの時の速さはいくらか。
(c)v(t)の式を微分することにより任意時刻におけるこのボートの加速度が速さに比例することを示せ。
どなたかよろしくお願いいたします。

回答No.2

Quarks

数式処理の問題でしょうか？

ボートの速さが10[m/s]になったときから、抵抗だけを受ける運動になったので、加速度運動を始めた瞬間の速度＝初速度v0 ですね。題意から V0=10[m/s] ですので、エンジンを止めてからの経過時間を t とすると
ｖ＝10・e^(-ct)
=10/(e^(ct))
と書けることになります。

(a) t=20 で、v=5 ですから、ｖの一般式に代入して
5＝10/(e^(20c))
e^(20c)=10/5=2
両辺の自然対数を取って
20c=ln2
これを変形して
c=…

(b)(a)のときと同様に、t=40 のときの速度 v' は
v'=10/(e^(40c))
ちょっと変形に工夫しましょう。
e^(40c)＝e^(20c・2)＝{e^(20c)}^2
10=100/10=(1/10)・10^2
ですから
v'=(1/10)・{10/(e^(20c))}^2
10/(e^(20c))=5 でしたから
v'=…

(c)ｖ＝10・e^(-ct)を t で微分すると
dv/dt=10・e^(-ct)・{d(-ct)/dt}
=10・e^(-ct)・(-c)
10・e^(-ct)=v でしたから
dｖ/dt=-c・v
これは、加速度 dv/dt が v に比例することを表しています。

回答No.1

_takuan_

学校の問題のようなのでヒントだけ。
答えから察するに、速度に比例した抵抗(空気＋水の抵抗？)のみを考えているようですね。
なので、この抵抗力のみよる運動方程式を立てまして、これを速度について解いてやれば解は出てきますよ。

　　　　mdv/dt = -kv

お礼

ありがとうございます。