力と運動の問題について質問

質問

高２のものです。問題の解答に自信がないのとわからないところがあるんでお願いします。
「質量mのボールを初速Vで水平面と角度シータで上方に上げた。ボールが飛び出すところを原点とし、鉛直上向きにy軸、初速度がxy平面になるように水平方向にx軸を選ぶことにする。ここでは空気の抵抗力Rが速度vに比例する場合を考える。すなわち抵抗はーｖ方向を向くのでR=-cvである。ただし、ｃ（0>)は比例定数である。重力加速度をｇとして次の問いに答えよ。
（１）ボールの速度と位置を時刻ｔの関数として表せ
（２）（１）で得られた速度の式から終速度（十分に時間がたったときの速度）をもとめよ
（３）ボールの軌道の方程式（ｘとｙの関係式）を求めよ」
という問題です。
（１）はｘ軸方向の速度「ｖｘ＝Vcos」,y軸方向「ｖｙ＝Vsin－ｇｔ」
ｘ軸方向の位置「ｘ＝Vcos＊ｔ」でいいんでしょうか？？
（１）のｙ軸の位置と（２）（３）がわかりません。また抵抗はいつどのように式にいれるのかわかりません。
面倒ですがお願いします

回答No.2

narucross

ややこしい問題こそ基本に戻って、ｘ軸方向のt=tでの運動方程式を立ててみよう。
vx=Vcosθだったら、ｘ軸方向の速度が一定になる。
空気抵抗を考慮するわけだからここでおかしいなと気づきますね。
Axをｘ軸方向の加速度とする。

mA=-cv
加速度は速度の時間微分、速度は変位の時間微分だから、
mx"=-cv'　　＊　とかけるわけです。"、’はそれぞれ二階微分、一階微分の意。

うーん、今になって考えたら、高校生にこんな問題解かせるなよって感じですね。
＊の二階線形微分方程式を解いてみます。特性方程式は、
λ^2+(c/m)λ=0で、解は、λ=0,-c/mとなります。
つまり、x=Cexp(t^0)+Dexp(t^(-c/m))となります。
x=C+Dexp(t^(-c/m))
あとは、初期条件から、（つまり、t=0のときのxやvの値から）
任意定数C,Dの値を求めたら、完了です。
x=....の式が分かれば、あとはそれを微分して、速度の式も得られます。

忘れていましたが、ｙ軸方向もおんなじ方法で解きます。
が、また微分方程式が出てくるので・・・ちょっと省かせてもらいます。・・・
(2)はｔを無限大にしたときに、ｖの値はどうなるかということですね。
(3)パラメータ（媒介変数）である、ｔを消去して、ｘとｙのみの式にします。

微分方程式が出てくる時点で高校生は解けなくても全然何の問題もないと思います。（多分微分方程式といてる部分は意味不明だと思われるでしょう）先生もマジで出されたのならちょっとそのほうがびっくりです。以上何かの参考に。半端な回答ですみませんね。

回答No.1

fujillin

ヒントのみですが・・・
問題としてより普通の状態をまず想像しみましょう。
ボールが飛んでいる限り、抵抗は発生しているはずです。水平方向を考えれば、初速に対して空気抵抗があるので、段々速度が落ちて最後には・・・
垂直方向も同様ですが、同時に重力加速度も働いているので、段々速度が増します。ただし、これに比例して抵抗力も増加するので、最後は抵抗力と加速度分がつりあうことになると予想されます。
垂直方向については、雨が上空高くから落ちてくるのに、地上付近で当ると危険なほどには加速していないのと同じ原理ですね。

（3）のヒントは
位置を時間で微分すると速度、速度を微分すると加速度になります。
なので、速度を積分すると位置を求めることができるのですが、高2でこの考え方を使ってよいのかどうかわかりません。