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高校物理、放物運動

水平投射をかんがえる。 投げ出された点をOとして、初速度v0の向きにx軸、鉛直下向きにy軸をとり、投げ出された時刻を0として時刻tにおける物体の位置を(x、y)速度vのx、y成分をvx、vyとする。 このとき、計算をすすめると、y=g/2v0^2xとなりました。 gの正負で放物線が下に凸か上に凸かが分かれますが、どう考えるのでしょうか? また、同様の問題で、水平方向より仰角θに初速度v0でボールを投げだす場合。 投げ出された点をO水平右向きにx軸、鉛直上向きにy軸をとるとき、時刻tにおける物体の座標を(x、y)速度vのx、y成分を(vx、vy)とするとき、 y=tanθx-g/{2(v0cosθ)^2}x^2となったのですが、これもgの正負はどう考えるべきでしょうか? gは鉛直下向きに生じているから負ではだめなんですが、どうしてですか

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 gは重力加速度なので、下向きに働きます。  y軸のとり方は自由ですが、少なくともご質問にあるように、前半では「鉛直下向きにy軸をとり」、後半では「鉛直上向きにy軸をとる」というのは、混乱のもとです。  とりあえず、ご指定のとおりに解いてみましょう。  前半では、「鉛直下向きにy軸をとり」とありますので、このgは「正」の値で考え、式もy軸のとおり、下向きを生として考えればよいです。  従って、 ・摩擦や空気抵抗を考えなければ、水平方向の加速度はゼロなので、水平方向の速度は初速度のまま変わらない。  よって、 vx=v0  t(秒)後の座標は、最初の点をx=0とすると    x=v0t    (1) ・鉛直方向の加速度はg(m/s^2)であり、鉛直方向の初速度はゼロなので、鉛直方向の速度は時間をt(秒)として    vy=gt となる。  t(秒)後の座標は、最初の点をy=0とすると    y=(1/2)gt^2    (2) (どうしてこうなるのかは分かりますよね?) ・(1)式と(2)式からtを消去すると、  (1)より t=x/v0  これを(2)に代入して、   y=(1/2)g・(x/v0)^2    =(1/2)g・(1/v0)^2・x^2   ここで、A=(1/2)g・(1/v0)^2 (v0で決まる定数)とおけば、   y=A・x^2 という二次曲線になります。  y軸は下向きが「正」で、定数Aは正ですので、「上に凸」の放物線となります。  後半では、「鉛直上向きにy軸をとる」ので、下向きの重力加速度は「-g」となります。(gそのものは「正」の数値です)  ここでは、初速度は、水平方向より仰角θ(斜め上向き)方向にv0ですから、  ・水平方向: v0x=v0・cosθ  ・鉛直方向: v0y=v0・sinθ となります。  それ以外は前半と同じですから、次のようになります。 ・摩擦や空気抵抗を考えなければ、水平方向の加速度はゼロなので、水平方向の速度は初速度のまま変わらない。  よって、 vx=v0・cosθ  t(秒)後の座標は、最初の点をx=0とすると    x=v0・cosθ・t    (3) ・鉛直方向の加速度は-g(m/s^2)であり、鉛直方向の初速度は   v0y=v0・sinθ なので、鉛直方向の速度は時間をt(秒)として    vy=v0・sinθ - gt となる。  t(秒)後の座標は、最初の点をy=0とすると    y=v0・sinθ・t - (1/2)gt^2    (4) (どうしてこうなるのかは分かりますよね?) ・(3)式と(4)式からtを消去すると、  (3)より t=x/v0・cosθ  これを(4)に代入して、   y=(sinθ/cosθ)・x - (1/2)g・(x/v0・cosθ)^2    =x・tanθ - (1/2)g・(1/v0・cosθ)^2・x^2   ここで、B=tanθ、C=(1/2)g・(1/v0・cosθ)^2 (B、Cともv0とθで決まる定数。θによらずCは常に正)とおけば、   y=B・x - C・x^2    = -C・x^2 + B・x という二次曲線になります。  y軸は上向きが「正」で、定数C(>0)に「マイナス」が付いていますので、「上に凸」の放物線となります。  「gの正負で放物線が下に凸か上に凸かが分かれますが、どう考えるのでしょうか?」というのは、「g」は常に「正」にして、その前につく符号が「プラス」「マイナス」かで判断するようにした方が混乱しません。  また、y軸がどちらを正方向にしているか、ということも関係します。  ご質問の問題のように、前半ではy軸は下向きが正、後半では上向きが正、という混在はさせず、統一して表記することが大切です。直感的にわかりやすいよう、y軸は上向きを正として、下向きの重力加速度を「-g」と表すのが一番誤解を招かないと思います。

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座標系はどのようにとっても構わないのですが、途中で変更すると混乱のもとで大体は大失敗をします。なお斜交座標もまず失敗します。必ず直交座標をとってください。 また、定数は必ず正の値になるように式を組み立てます。下向きにy軸をとっているので運動方程式は F=m*αy=mg αy=g です。もし上向きにy座標をとった場合は F=m*αy=-mg αy=-g です。 通常は上向きにy座標をとるほうが多いですが、下向きにとっても間違いではありません。 質問者の設定した、投げ出された点をOとして、水平方向をx軸、鉛直下向きにy軸をとるという、一貫した方針で進めてください。 水平投射: αx=0 αy=g が基礎方程式です。あとはこれを順次時間で積分するだけです。 vx=vx0 vy=gt+vy0 vy0=0故 vy=gt x=vx0t+x0 x0=0故 x=vx0t (1) y=gt^2/2+y0 y0=0故 y=gt^2/2  (2) (1)よりt=x/vx0,これを(2)に代入して y=gx^2/(2v0^2) >gの正負で放物線が下に凸か上に凸かが分かれますが、どう考えるのでしょうか? gは正です。 水平方向より仰角θに初速度v0でボールを投げだす場合: αx=0 αy=g が基礎方程式です。あとはこれを順次時間で積分するだけです。 vx=V0 vy=gt+vy0 vy0=0故 vy=gt x=V0t+x0 x0=0故 x=V0t (1) y=gt^2/2+y0 y0=0故 y=gt^2/2  (2) (1)よりt=x/V0,これを(2)に代入して y=gx^2/(2V0^2) >gの正負で放物線が下に凸か上に凸かが分かれますが、どう考えるのでしょうか? gは正です。 水平方向より仰角θに初速度V0でボールを投げだす場合: αx=0 αy=g vx=V0cosθ vy=gt+vy0 vy0=-V0sinθ故 vy=gt-V0sinθ x=V0cosθt (3) y=gt^2/2-V0sinθt (4) (3)よりt=x/V0cosθ,これを(2)に代入して y=gx^2/[2(V0cosθ)^2]-xtanθ   (5) >y=tanθx-g/{2(v0cosθ)^2}x^2となったのですが、これもgの正負はどう考えるべきでしょうか? gは鉛直下向きに生じているから負ではだめなんですが、どうしてですか gは正です。 質問者の計算は間違いです。下向きにy座標をとっている以上(5)が正解です。 座標系によらず定数は正にとります。

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