円錐の体積と微分について

質問

わたしは中学校3年生です。

学校で、『円錐の体積＝底面の面積×高さ×3分の1』と習いました。
それはわかったのですが…

なぜ、3分の1なのでしょうか。

学校の先生は、高校の微分積分が関係するとおっしゃっていましたが、よくわかりません。
水を使って、体積が3分の1になることは証明できましたが、なんだか納得がいきません。

角錐が3分の1になることは、等積変形の応用で証明できる、というのは理解できますが、円錐だと、側面のカーブがあるため、しっくりきません。

自分でも、いろいろと調べたのですが…。
角錐の体積を使わないで、微分積分を知らない中学校3年生に、3分の1の理由を説明してください!!

回答よろしくお願いします。

回答No.2

sanori · ベストアンサー

こんにちは。
積分以外ではやったことがないし、とっっっっっっっっっっても面倒なのですが、チャレンジします。

説明をしやすくするため、円錐を引っくり返して、頂点の高さを　０、底面の高さを　ｈ　とします。

次に、円錐を、厚さＤずつ均等に、輪切りにすることを考えます。
すると、厚さＤの円盤が、いくつかできますね。下に行くほど小さい円盤で、上に行くほど大きい円盤です。
（端っこが、多少斜めになってますが、そんな細かいことは気にしません。）

このとき、それぞれの円盤の半径はどうなるでしょうか？
０　から　ｈ　に向かう方向の距離（円盤の、頂点からの距離）を　ｘ　と置くと、
半径は　ｘ　に比例します。
底面の半径を　ｒ　と置くと、
ｘ　：　輪切りの円盤の半径　＝　ｈ　：　ｒ
つまり、
輪切りの円盤の半径　＝　ｒｘ／ｈ
となります。

ですから、円盤の体積は、
円盤の体積　＝　π（ｒｘ／ｈ）^2　×　Ｄ
です。

では、円盤の体積の合計として円錐の体積を求めていきます。

まず、円錐を２つに輪切りにしたときは、２つの円盤の体積の合計と見なせます。
そのときは、Ｄ＝ｈ／２、
２つの　ｘ　は、１／２・ｈ　と　２／２・ｈ、　なので、
合計体積　＝　π（ｒ・１／２・ｈ／ｈ）^2　×　ｈ／２　＋　π（ｒ・２／２・ｈ／ｈ）^2　×　ｈ／２
　＝　πｒ^2ｈ　×　（（１／２）^2　＋　（２／２）^2）　×　１／２
　＝　πｒ^2ｈ　×　（１^2　＋　２^2）／２^3

円錐を３つに輪切りにしたときは、３つの円盤の体積の合計と見なせます。
そのときは、Ｄ＝ｈ／３、
３つの　ｘ　は、１／３・ｈ　と　２／３・ｈ　と　３／３・ｈ、　なので、
合計体積　＝　π（ｒ・１／３・ｈ／ｈ）^2　×　ｈ／３　＋　π（ｒ・２／３・ｈ／ｈ）^2　×　ｈ／３　＋　π（ｒ・３／３・ｈ／ｈ）^2　×　ｈ／３
　＝　πｒ^2ｈ　×　（（１／３）^2　＋　（２／３）^2　＋　（３／３）^2）　×　１／３
　＝　πｒ^2ｈ　×　（１^2　＋　２^2　＋　３^2）／３^3

輪切りの数を無限に増やしたとき（円盤１つ１つの厚さを無限小にしたとき）、円錐の体積となります。

規則性に気づけば、ｎ枚に輪切りにしたとき
合計体積　＝　πｒ^2ｈ　×　（１^2＋２^2＋３^2＋・・・＋（ｎ－１）^2＋ｎ^2）／ｎ^3
となることはわかるかと思います。
πｒ^2　は底面積、ｈ　は高さですから、
合計体積　＝　底面積　×　高さ　×　（１^2＋２^2＋３^2＋・・・＋（ｎ－１）^2＋ｎ^2）／ｎ^3
です。
あとは、ｎが無限大になったとき
（１^2＋２^2＋３^2＋・・・＋（ｎ－１）^2＋ｎ^2）／ｎ^3
が　１／３　に近づくことを示せばよいです。

合計体積が無限大にもゼロにもなるはずがないので、
分母に　ｎ^3　があるということは、分子の　１^2＋２^2＋３^2＋・・・＋（ｎ－１）^2＋ｎ^2　は　ｎ　の３次関数であるはずです。
（３次を超えたら体積は無限になってしまいますし、３次より下だったらゼロになってしまいます。）

その３次関数を、
ａｎ^3　＋　ｂｎ^2　＋　ｃｎ　＋　ｄ　＝　１^2＋２^2＋３^2＋・・・＋（ｎ－１）^2＋ｎ^2
と置きます。

ｎ＝０　を代入すると、
（あ）ｄ　＝　０
ｎ＝１　を代入すると
（い）ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ　＝　１
ｎ＝２　を代入すると
（う）８ａ　＋　４ｂ　＋　２ｃ　＋　ｄ　＝　１　＋　２^2　＝　５
ｎ＝３　を代入すると、
（え）２７ａ　＋　９ｂ　＋　３ｃ　＋　ｄ　＝　１　＋　２^2　＋　３^2　＝　１４

連立方程式（あ）～（え）を解くと、
ａ＝１／３、ｂ＝１／２、ｃ＝１／６、ｄ＝０　となります。

よって、
１^2＋２^2＋３^2＋・・・＋（ｎ－１）^2＋ｎ^2　＝　１／３・ｎ^3　＋　１／２・ｎ^2　＋　１／６・ｎ
よって、
合計体積　＝　底面積　×　高さ　×　（１／３・ｎ^3　＋　１／２・ｎ^2　＋　１／６・ｎ）／ｎ^3
　＝　底面積　×　高さ　×　（１／３　＋　１／（２ｎ）　＋　１／（６ｎ^2））

これ、ｎ　が無限に近づいたら、１／（２ｎ）　と　１／（６ｎ^2）　はゼロに近づいて、１／３　だけが残って、
合計体積　＝　底面積　×　高さ　×　１／３
になりますよね？

お礼

ありがとうございます。

なかなか難しかったけれど、最後はとってもすっきりしました!!

ほんとうに
底面積×高さ×3分の1
になるんですね!!

ｎを大きくすることで、より正確な円錐の体積の値に近づくってことですよね＞＜

あとは、高校の数学で理解していきたいと思います。

回答No.3

springside

質問者さんの意欲をそぐようで申し訳ないのですが、
やはり、積分を使わないときちんと説明できないと
思います。

高校に入って積分を習ってからのお楽しみということ
で、大事にとっておいたらいかがですか。

お礼

ありがとうございます。

やっぱり、ちゃんと積分を習ってからのほうがいいようですね。

高校の数学が楽しみになってきました!!

回答No.1

naniwacchi

こんにちわ。

確かに、厳密に示そうとすると高校の微分積分にならないとできません。
（逆に、それを高校で見たときに「おお～」と感動しました）
過去にも何度か同じ質問がされているようです。
検索して、それらの回答を読んでみるのもいいと思います。

＞角錐が3分の1になることは、等積変形の応用で証明できる、というのは理解できます
ということなので、横に切ったときの切り口を多角形に変形してしまえばどうでしょうか？
角錐も円錐も、高さの途中で横に切った断面は、底面の図形と相似になっています。
ですので、円錐の断面である円を「何かの多角形」に等積変形できれば、
角錐と同じように考えることができますよね。

ちなみに、作図で円を多角形に変形するのは無理なのですが。＾＾；

似たような考え方で、円が非常に細い二等辺三角形の集まりと見てしまう方法もあります。
円の面積の公式を与えるときに、細切りにして考える方法があったと思います。
あの方法の応用です。

お礼

ありがとうございます。

考えにくいものを、考えやすいものにして表現する、

のが数学だってきいたことがあります!!
どこまでも細かくして考えるのが『極限』だそうですね。

あとは、高校の数学を頑張りたいと思います(*^_^*)