衝突おいて失われたエネルギーが熱に変わること。

質問

よろしくお願い致します。

鉛弾丸を，穴が掘ってある鉛球に打ち込む際，完全非弾性衝突をするとします。
衝突により失われたエネルギーをQ(J)として，このQ(J)がすべて熱エネルギーに変わるとします。
衝突前の弾丸450K，鉛球300Kのとき，衝突後一体となって熱平衡になったとします。

ここで熱平衡後の温度をもとめたいのですが，ここからが分かりません。
弾丸の熱量＋Q=球の熱量
で熱平衡後の温度が出ると，本には書いてあるのですが，どうしてQを弾丸側に足すのでしょうか。

弾丸の方が温度が高く，球が低いので，
高温物体が奪われた熱量=低温物体が奪った熱量
だと思うのですが，衝突によって発生した熱量をどうして高温物体である弾丸にプラスするのでしょうか。
どうして衝突によって発生したエネルギーが弾丸に吸収されるのでしょうか。
衝突によって発生した熱エネルギーは，弾丸にも球にも伝わるのではないでしょうか。

質問が乱立していますが，これらに共通する回答があるのではないかと推測します。
ご回答のほど，よろしくお願いいたします。

回答No.6

htms42

＃５です。
なぜ後から問題文の中に含まれていた数値が次々と出てくるのでしょうか。
そういう数値は関係なく問題が解けるとあなたが考えておられるというを表していることになります。

計算済みとされていますが弾丸の速度も与えられているのでしょうね。

＞立式は，0.02*1.26*10^2*(450-T)+4.88*10^3=4.98*1.26*10^2*(T-300)

これを解いて見られましたか。
式ができているのですから解けるはずです。
（Ｔの温度はほとんど３００Ｋだということが分かるはずです。）

この式は「弾丸の熱量＋Q=球の熱量」ではありません。
「高温物体が奪われた熱量=低温物体が奪った熱量」でもありません。
成り立つのは「高温物体が奪われた熱量＋Ｑ（発生した熱量）=低温物体が奪った熱量」です。

実際は熱の移動がどこからどこへとは追いかけてはいません。
衝突の前後での熱量比較の方がはっきりするでしょう。
「衝突の前に弾丸と鉛球の持っていた熱量の合計」＋「衝突によって発生した熱量」
　＝「衝突の後で弾丸と鉛球の持っている熱量の合計」
　＝「温度Ｔで平衡にある時の弾丸と鉛球の持っている熱量の合計」　

質量の合計は５．００ｋｇですから弾丸の質量の比率は０．４％です。
示されている数値は全て有効数字３桁のものですから０．４％の質量のものが効いて現象は存在しないと考えるのが最初の見通しです。

もしそういう細かい温度変化まで問題にするというのであれば鉛球の速度変化も問題になります。

弾丸の速度がｖであれば衝突後に合体した球の速度は(０．０２／５．００)ｖです。
ｖ＝５００ｍ／ｓであれば２ｍ／ｓです。これはかなり大きな速さです。弾丸のめり込んだ鉛球は飛ばされたという結果になります。（あなたが勝手にｖの値も省いているのが問題になります。）

この場合は両方が動いていますから発熱量は初めに弾丸が持っていた運動エネルギーには等しくありません。少し小さくなっています。この場合も０．０２／５．００が出てきます。

あなたのやった計算の最初から洗い出していく作業が必要です。

回答No.5

htms42

物体の質量も熱容量も与えられていない問題で
衝突後の平衡温度はいくらかと問われても答えようがありません。

鉛球の質量が弾丸の質量に比べて充分大きくて鉛球の運動量変化がないとするのであれば熱容量も充分大きいわけですから温度変化もありません。

質量が十分大きい場合の衝突を考える時にわざわざ球であると断ることはありません。床とか壁とすればいいのです。球という言葉を使っているというのは有限の大きさの質量の決まった物体であるということを表しています。温度変化を問題にするのであれば質量比もそこそこのものを考えておく必要があります。
その場合は運動量量変化とエネルギー変化をきちんと求めて考えなければいけません。
＞弾丸の熱量＋Q=球の熱量
という式は成り立ちません。

＞衝突によって発生した熱エネルギーは，弾丸にも球にも伝わるのではないでしょうか。

そうです。

お礼

弾丸の熱量＋Q=球の熱量
伺いたいのは，参考書がこの式で熱平衡後の温度を求めており，どうしてこの式が成り立つのか，ということです。この式が間違っているとすると，どうすれば正しい答えがでるのかを御教授いただきたく思います。

鉛球4.98kg,鉛弾丸0.02kg，鉛の比熱は1.26*10^2J/kgK，弾丸450K，鉛球300K(ともに衝突前の温度)，以上が問題設定です。

問題は，「熱平衡に達したときの温度は何Kか」です。
立式は，0.02*1.26*10^2*(450-T)+4.88*10^3=4.98*1.26*10^2*(T-300)
4.88*10^3は衝突により発生した熱量です。事前に計算し終わっています。熱平衡後の温度をTとしています。

>鉛球の質量が弾丸の質量に比べて充分大きくて鉛球の運動量変化がないとするのであれば
設定から考えると，弾丸に比べ鉛球の質量が大きく，鉛球の運動量変化は止まっているのですから，運動量変化もありませんね。

>熱容量も充分大きいわけですから温度変化もありません。
鉛球の熱容量が十分大きいわけで，すると鉛球の温度変化もない，と考えるということでしょうか。

最終的に，熱量保存則をどのように書けば正しい答えがでるのでしょうか。
ご回答のほどよろしくお願いします。

回答No.4

heboiboro

＞弾丸の熱量＋Q=球の熱量
この式は、「弾丸の温度変化により吐き出された熱量と摩擦によって発生した熱量の合計を、球が吸収する」という意味です。つまり、Qは球に吸収されています。質問者さんのこの式の解釈は逆になっています。

お礼

ご回答ありがとうございます。私の解釈は逆ですね。

高温物体である弾丸と，弾丸と球の摩擦により生じた熱エネルギーの合計が，球に吸収された，ということですね？

それは，高温物体から低温物体に熱エネルギーが移動する(正確な物言いではありませんが便宜上)と考えるから，摩擦による熱エネルギーは高温物体側に追加される，こう考えてよろしいですか？

「衝突により失われたエネルギー」は「摩擦による熱エネルギー」や「音」「光」に変換される。
だとすると，弾丸が奪われた熱量＋衝突によって生じたけれど球に奪われた熱量=球が奪った熱量，この式で熱平衡後の温度が分かりますよね。この議論は破綻していませんか？

ところで，2番さんが仰った，衝突によって生じた運動エネルギーが弾丸に…というくだりは，どうお考えですか？

また，たとえば，この熱化学方程式の考え方は，今回の参考になるのでしょうか。C+O2=CO2+394kJ
熱化学方程式と有機的につながると，理解が深まるのではないかと感じます。

回答No.3

eatern27

ん、同じ現象を弾丸の静止系で観察するか、鉛玉の静止系で観察するかで衝突直後に弾丸と鉛玉の温度変化の仕方が変わってくるという事ですか？>>#2さん

>弾丸の熱量＋Q=球の熱量
この式がどういう式なのかよく理解できていませんが、とにかく弾丸が熱エネルギーを全て受けとったとして計算しているのであれば、
弾丸と鉛玉がそれぞれどれだけ熱エネルギーを受け取ったかという事とは関係なく、最終的に同一の熱平衡状態にたどり着く(と考えられる)ので、計算を簡単にするために弾丸が全ての熱エネルギーを受け取った事にしただけでしょうね。

現実問題には仰るように弾丸と鉛玉の両方が熱エネルギーを受け取るような事が起こっていると考えて良いでしょうし、そう考えても同じ答えにたどり着くはずです。

お礼

ご回答ありがとうございます。

弾丸の熱量＋Q=球の熱量，どうも私はこれが分かりません。
熱量保存則の変形だろうとは思うのですが，なぜ弾丸側に衝突によって失われたエネルギーをプラスするのかがしっくり来ません。

確かに，計算の簡略化の為に，便宜上そうしただけ，ということも考えられますね。
大学入試にこの問題が出たとき対処できない，では困るので，なんとか理解したいと思います。

現実には両方が熱エネルギーを受け取りますよね。どういう割合で受け取るのかは大きさが関係しそうです。ただ，便宜上の上記考え方と同じになる，というのが分かりません。

話は変わるのですが，弾丸の熱量＋Q=球の熱量で導出した熱平衡後の系の温度は306Kで，弾丸の熱量=球の熱量で導出した系の温度は300Kでした。6Kしか変わらないというのは，そもそも現実問題として実験する意味がないと感じます。出版社はこういうところを気にしてほしいと思います。

回答No.2

oosawa_i

えーと、最初から両方動いていたら、あなたの言う通りですので計算が面倒になります。
計算を楽にするために、球は止まっている設定にしているのです。

「弾丸が失ったエネルギーが熱エネルギーに変化したとすると，その熱は弾丸にも球にも分配されないのでしょうか？
弾丸と球は接触しているということを考えると，分配されるような気がしてなりません。」

分配されるのです。
だから、最初から止まっている弾丸と球を接触させるより、動いている弾丸と止まっている球を衝突させた方が両方の温度は高くなります。
計算としては、最初から止まっている弾丸と球を接触させた温度を計算して、それに弾丸の運動エネルギーの分を足せばいいだけです。

ただ順番としては、弾丸の温度がまず上がります。それが球にも伝わります。この順番で考えるんです。

結局、この式「弾丸の熱量＋Q=球の熱量」の表現が不十分なんだと思います。
この式は忘れて、自分なりに解釈することをおすすめします。

お礼

不躾な質問にも関わらず丁寧にご回答くださりありがとうございます。
問題を簡単にするために，鉛球を止めてあるのですね。ありがとうございます，分かります。

静止した450Kの弾丸と静止した300Kの球を接触させることで熱平衡に達するのと，運動エネルギーを持った弾丸450Kと，運動エネルギーを持たない球300Kを接触させた方が，この系全体の温度は高くなる，ということですね。分かります。

9行目の「弾丸の運動エネルギー…」のところですが，
熱量保存則「高温物体が奪われた熱量＝低温物体が奪った熱量」というのは静止した系において成り立つものと考えてよろしいですか。

今回のように動いている系では，熱量保存則をどのように変更すればよいのでしょう。
市販の参考書が正しいとすると，弾丸のエネルギーを足すのは，高温物体である弾丸で，この部分がどうも理解できません。

「弾丸の温度がまず上がる」から弾丸側の熱量にプラスするのでしょうか。

球に比べて弾丸の大きさが小さいから，先に弾丸の温度が上がるのでしょうか。

また，弾丸の熱量＋Q=球の熱量，この式が不十分だとすると，どのように書くのが正解でしょう。

問答におつきあいくださりありがとうございます。よろしくお願い致します。

回答No.1

oosawa_i

こんばんは。

えーと、Ｑは弾丸が失ったエネルギーだから、弾丸の熱量に加えなければならないんです。
だって、衝突によって球はエネルギーをうしなっていないですよね？

衝突によるエネルギーの変化と、熱の移動による温度の変化は別の話ですよね。
２つことを一つの式で表しているから考えづらいんです。
まず衝突して、運動エネルギーが熱にかわった。
次にもともともっていた熱＋運動エネルギーによる熱が平衡になるように移動したと考えればわかると思います。

頑張ってください。

お礼

ご回答ありがとうございます。

衝突により失われたエネルギー，という言葉はたしかに，どこから失われたのか，が書いてありませんね。
それには気づきませんでした。ありがとうございます。

質問なのですが，衝突により失われたエネルギーとは，運動している弾丸が元々持っていたエネルギーから，衝突によって差っ引かれる分のエネルギーのことなのですよね？

だとすると，弾丸も球も運動している場合はどちらも運動エネルギーを持っているものと考えられますが，この場合はどのように考えればよろしいでしょう？

弾丸がエネルギーを失って，球はエネルギーを失っていない(そもそも止まっているのだから運動エネルギーはゼロ)。
弾丸が失ったエネルギーが熱エネルギーに変化したとすると，その熱は弾丸にも球にも分配されないのでしょうか？
弾丸と球は接触しているということを考えると，分配されるような気がしてなりません。

不躾な質問ですが，よろしくお願い致します。