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複素解析
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siegmund です. a^b はaのb乗のことですが, 「一応解けました」とあるので,おわかりになったようですね. 平方して4になる数は±2ですが, これからわかるように平方根関数は2価関数です. xが正の数の時は√xは2つあるうちの正の方を表すという約束になっていますが, zが複素数の時は√zは2価のうちどちらを取るかは特に約束されていません. z=re^(iθ)と書きすと,√zは w1=(√r)e^(θ/2) w2=(√r)e^{(θ/2)+π} ですね.(w1)^2,(w2)^2,どちらもzになるのを確かめて下さい. で,w1の方を取り上げることにして,zをr一定,θを0から2πまで 動かしてみましょう. つまり,zは複素平面上で半径rの円を一周する. zが一周してもw1の方は元に戻りませんね. 半周しかしません. zが二周するとw1は元に戻ります. ここら辺の状況を,w1の複素平面を2枚用意してうまく表そうというのが Riemann面の考え方です. 2枚の複素平面の「継ぎ目」がbrach cutにあたります. 詳しいことやりますと,大学の1~2回分くらいの講義になりますので, アウトラインだけ書きました. 複素解析でしたらテキストにRiemann面など載っていませんか? なければ,図書館で複素関数論の本など探してみてください. karkarl さんが数学専門ではないのでしたら,応用複素関数論とか物理数学 といったタイトルの本の方が読みやすいかも知れません.
その他の回答 (2)
- siegmund
- ベストアンサー率64% (701/1090)
複素解析だったら,この問題は基本中の基本です. まったくわからないというのは,解せません. 授業でやったことで解決がつくはずですが.... レポート問題の答をそのまま書くのは適当と思いません. 折角ですからヒントだけ. z=re^(iθ)の形にしてみたらどうでしょう. あるいは,z=(√z)^2 をu,vであらわして, 実部同士,虚部同士を比較すれば良いんじゃ.... いずれにしろ,√zは2価関数です. branch cutやRiemann面にも注意して下さい.
お礼
一応解けましたが、branch cutやRiemann面とはどういったものなのでしょうか?
補足
今年から習っているのでz=re^(iθ). z=(√z)^2 の^の記号の意味がわからないです。よろしくお願いします。
- karen7777
- ベストアンサー率50% (3/6)
あの~、zとwの間の関係はどうなっているのでしょうか? それがわからないとどうしようもないという気がするのですが。
補足
√w は√zの誤りです。
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お礼
丁寧な回答ありがとうございました。Riemann面、brach cutについてもわかりやすかったです。