微分方程式と平方根

質問

現在ある同次形微分方程式の例題をいじっているのですが、そのなかで出てくる以下の計算の手順が思いつかなくて困っております。

v = y/x

とおいたときに、sqrt(x^2 + y^2)　を　sqrt(1 + v^2)　に書き換えたいのですが、この手順がわかりません
。どなたかご教授いただければ幸いです。

回答No.3

Knotopolog · ベストアンサー

やはり，この微分方程式は，同次形です．

　x*(dy/dx) ＝ y ＋ sqrt(x^2 ＋ y^2)

を変形すると，

　x*(dy/dx) ＝ y ＋ sqrt[(x^2)(1 ＋ (y/x)^2)]

　x*(dy/dx) ＝ y ＋ x sqrt[1 ＋ (y/x)^2]

(dy/dx) ＝ y/x ＋ sqrt[1 ＋ (y/x)^2]

となりますから，同次形微分方程式です．

お礼

確かにそう変形できますね。
自分で思いつかなかったあたりが残念です・・・

ご回答ありがとうございました。

回答No.2

Knotopolog

＃１です．

「基礎解析学コース　微分方程式」の１２ページにある例題の同次形微分方程式を全部，書いてみて下さい．sqrt(x^2＋y^2)　から　sqrt(1 ＋ v^2)　への変形で，何か分かるかも知れません．

補足

微分方程式自体は

　x*(dy/dx) = y + sqrt(x^2 + y^2)

です。

回答No.1

Knotopolog

sqrt(x^2 ＋ y^2)　は　sqrt(1 ＋ v^2)　となりません．計算すると，

sqrt(x^2 ＋ y^2) ＝ sqrt[(x^2/x^2)(x^2 ＋ y^2)] ＝
＝ sqrt[(x^2)(x^2/x^2 ＋ y^2/x^2)]＝sqrt[(x^2)(1＋(y/x)^2)]＝
＝ sqrt[(x^2)(1 ＋ v^2)]

となりますから，x が消えずに残ります．

お礼

ご回答ありがとうございます。

補足

使っている書籍は矢野健太郎さんと石原繁さん共著の「基礎解析学コース　微分方程式」なのですが、その１２ページにある例題でこの計算過程が出てきます。そこには詳細な過程は記されていないので考えてみたのですがわかりません。
できないと結論づけていいのかどうかもわからないところがつらいところですが、とりあえずご返答ありがとうございます。上のような手順は私もひと通り変形を試してみました・・・がわかりませんでしたｗ