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微分方程式？解き方がわかりません
grothendieckの回答
ad^2y/dt^2+bdy/dt+cy=f(t) …(1) という定数係数2階微分方程式の特解を求めることを考えます。 ak^2+bk+c=0 の解をk1, k2とすると、(1)は (D-k1)(D-k2)y = f(t) となります。ただしDはd/dtを表わします。形式的に (D-k1)で割ると (D-k2)y = f(t)/(D-k1) …(2) ただし右辺は (D-k1)x = f(t) …(3) の解x(t)を表わします。(2)をさらに(D-k2)で割って y = f(t)/(D-k1)(D-k2) このように1階微分方程式を2回解くことに帰着できます。f=dsin(ωt+θ)のときの(3)の解は定数変化法で求めることができます。まず、 (D-k1)x = 0 の解はx=Aexp(k1 t)でAを時間の関数に変えて(3)に代入すると dA/dt = exp(-k1 t)dsin(ωt+θ) 積分して A=d∫exp(-k1 t)sin(ωt+θ) dt すると ∫exp(-k1 t)sin(ωt+θ) dt =(-ω/ω^2+k1^2)(cos(ωt+θ)+(k1/ω)sin(ωt+θ))exp(-k1t) だから x=(-dω/ω^2+k1^2)(cos(ωt+θ)+(k1/ω)sin(ωt+θ)) これを(2)に代入して特解を求めることができます。一般解はAexp(k1t)+Bexp(k2t)を加えたものになります。
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お礼
すいません、どうもありがとうございました。参考にさせて頂きます。