数列に関する部分和Snと一般項Anの関係

質問

次を満たす数列Anを求めよ
Σ(k=1～n)(n-k+1)Ak=(n+1)^3-1―(1)

という問題で
(1)
⇔nA1+(n-1)A2+…+An=(n+1)^3-1―(2)
であり(2)よりn≧2において
(n-1)A1+(n-2)A2+…+A(n-1)=n^3-1―(3)
が成り立つ
ここで(2)と(3)の辺々引くと
A1+A2+…+An=3n^2+3n―(4)
(2)でn=1とするとA1=7であり(4)式でもそれは成り立つ
したがって(4)はすべての自然数nで定義される
（以下略）

という解法で解くのですが疑問に思ったのは
(1)⇔(2)はいいとして、その先の(3)式や辺々引いた(4)式が
はたして同値性を満たしているのかがよくわかりません

全ての自然数nについて考えると(3)は(2)の必要条件であり
n≧2の自然数について考えると(3)と(2)は同値となると思います
n≧2で考えた場合(4)はお互いに同値な(2)と(3)の辺同士の差で求められますが
一般に同値な条件同士辺々引いた条件式はもとの条件と同値になるのでしょうか

果たして同値性はどうなっているのか本当に不明なので
論理的な説明をお願いいたします

回答No.1

alice_44

「納得した」と言った直後に同問再投している理由の
論理的な説明が欲しい。
http://okwave.jp/qa/q6834438.html

補足

失礼ですが同問という認識はありません
回答者様の提示されたURLの質問では
x倍したりx-1倍しただけだから同値、
という物であるのに対し、
いま私が質問している物は単純に
両辺を何倍するというものでなく
nにn-1を代入した式と元の式を
引いてるので、先の質問とは性質が異なります
似ているとは思いますが、これを先の質問で
追加質問するのは良くないと判断し
別に質問させていただいた次第です