理科大の数学、微分積分です。

質問

aを定数として、関数f(x)＝x^3-3x^2+9|x-a|+1を考える。

(1) x＞aの範囲でf(x)は増加することを証明せよ。

(2) 実数全体でf(x)が増加するためのaの条件を求めよ。

(3) x≧-1の範囲でのf(x)の最小値をmとするとき、mをaを用いて表せ。

(4) (3)の最小値mが-3となるaの値を求めよ。

(1)まではできます。

解答は
(2) a≦-1

(3) a≦-1のとき、m=-9a-12
-1＜a＜3のとき、m=a^3-3a^2+1
3≦aのとき、m=9a-26

(4) a=-1, 2

です。よろしくお願いします。

回答No.2

think2nd · ベストアンサー

この問題は(1)が重要です。ヒントでもあるからです。次に大切なことはaを操ることです。aはあなたが掴んでいないとf(x)のグラフが見えなくなります。
(1)はf(x)=x^3-3x^2+9x-9a+1・・・(5)を微分してf'(x)=3(x-1)^2+6>0だからx>aで単調増加関数です。すなわちx軸上の定点aを決めるとその右側の定義域でf(x)のグラフが右上がりになることを認識してください。さてx軸上のにあるaの左側はどうなっているのでしょうか?それが(2)の問いです。左側でも関数f(x)がいつも右上がりのグラフでいるためには、定点aがどこにあるのかを問うています。だからa<xの時のグラフを書いてください。
f(x)=x^3-3x^2-9x+9a+1・・・(6)としてから微分して増減表から、極大値がf(-1)=9a+6、極小値がf(3)=-28+9aが求まります。このグラフは-1<x<3で減少しますからここにx軸上にaがいると右上がりのグラフにはなりません。だからa≦-1(←答え)であればいいでしょう。どうですかaとグラフが見えますか。(定数aに数値を与えない限りはっきりとは見えません。形だけしか見えません。)
これで下準備ができましたから、(3)がゲームです。問題を正しく理解しないとaとf(x)が手元から逃げ出します。
(イメージのグラフを下に書きましたから、考えてください。ただしiii)のイメージです。)f(x)の定義域は-1≦xです。　
i)a≦-1のときf(-1)が最小値です。(5)(6)どちらに代入しますか。そうです(5)の方です。すなわちm=f(-1)=-12-9a
ii)-1<x<3のとき　下のグラフからx=aで最小値すなわちm=f(a)=a^3-3a^2+1をとります。
iii)　3≦aのとき常にx=3で最小値を取りますから、(6)に代入してm=f(3)=-26+9aをとります。
(4)は横軸をaとし縦軸をmとして(3)のグラフを書けばとけます。
数学はルールを正しく理解し、自分の体に吸収しさえすればいいのであって、問題を解くことは、知的ゲームです。問題を作ることが面白いんですよね。

回答No.3

think2nd

またまたごめんなさい。回答　No2　にミスが2ヶ所ほどありました。
1つめは　問題の小問（3）番の場合分けのii）で-1<x<3と書いてしまいました-1<a<3のときに訂正してください。
2つめは　イメージで書いた図です。本文中にもありますがiii）の時ではなくて、ii)の場合、
　　　　すなわち-1<a<3のときのイメージ図でした。訂正いたします。(笑)(笑)

回答No.1

ran-neko

f(x) = x^3-3x^2+9x-a+1 (x >= a)
ｆ(x) = x^3-3x^2-9(x-a)+1 (x < a)

として進めてみてください。