都市経済学の問題ですが

質問

都市経済学で都市規模についての問題を解いています。解答があるのですがいまいち内容を理解することができません。問題は以下のようになります。【】でかこった部分が疑問です。何か少しでも分かるなら教えていただけると幸いです。

面積H(固定)のまったく同質な多数の島から構成されている経済について考える。
各島の人口をP、経済全体の人口をP´(固定)で表す。
各島で消費財が生産され、各企業の生産関数は　F(N，P)＝N｛1－(Q－P)^2｝
Qは所与のパラメーターで、Nは企業の従業員数。
消費者は全て同じ効用関数　u(z，h)＝z^(1/2)・h^(1/2)　を持っている
zは消費財　hは土地の消費量

(1)の問題
島の数がnで連続的な内生変数であるときの最適な都市規模を求める問題
解答によると、各住民の消費は　h＝H/P　z＝1-(Q-P)^2　になる。
それを効用関数に代入して
U(P) = (H/P)^(1/2)・{1-(Q-P)^2}^(1/2)　をPについて最大化するもの。

これは以前質問したとき(http://okwave.jp/qa/q6819727.html)に答えは解けたのですが、
【z＝1-(Q-P)^2　になるのか解答に記載してないため分かりません。一人当たりの消費財はなぜNという従業員数で割ったものと等しいのでしょうか？　】

(2)の問題
各消費者が全ての資産を均等に所有していると仮定したとき、島の数を所与として、企業の参入が自由なケースの競争均衡を求めるよ。その際に賃金と地代を計算せよ。(企業の生産関数が一次同次であるので均衡での企業規模は不安定になることを留意せよ)

【経済学は勉強しているが、実際に計算問題をやったことがほとんどないので、競争均衡を求めるとは何を求めることなのかいまいち理解できない。】

という問題で、解答は
賃金をw　地代をRとする。企業の利潤　π＝N｛1－(Q－P)^2｝－wN　で参入が自由なので利潤がゼロになり　wN＝N｛1－(Q－P)^2｝　w＝｛1－(Q－P)^2｝

所得をyとすると、これは賃金と地代収入の和で　y＝w＋R(H/P)　が成り立つ。
所得制約　y＝z＋Rh　のもとで効用関数　u(z，h)＝z^(1/2)・h^(1/2)　を最大すると
h＝y/2R　z＝y/2が得られる。

消費財市場の需給均衡はF(N，P)＝Nzであり、土地市場の需給均衡はH=Nhである。

【需給均衡とはつまり競争均衡ということでしょうか？　式はどんな意味を示しているのしょうか、生産量＝消費量という意味になっているのでしょうか？　　
数式から考えたらF(N，P)＝Nz　は　F(N，P)＝N｛1－(Q－P)^2｝の変形であるのは分かるが、どうして需給均衡なのかがわからない。
土地の需給均衡についても、なぜH＝Nhになるのかが理解できない。H＝Phになら納得がいくのですが。P＝Nというような前提があるのでしょうか？】

ここで自由参入の条件　N｛1－(Q－P)^2｝＝wN　がなりたっているので　z＝w＝｛1－(Q－P)^2｝となることから　y＝2｛1－(Q－P)^2｝　が成立する。
hに関する効用最大化の条件からR＝y/2hが得られるので
R=(P/H)・｛1－(Q－P)^2｝　が成り立つ。住民の効用水準は(1)のU(P)と同じになる。

【なぜ効用水準が同じであると言えるのか、理由もなしに書かれているので理解できない。】

疑問が多いのでまとめますと

・なぜ　z＝1-(Q-P)^2　になるのかが分からない。

・(2)において競争均衡を求めるとはどういうことなのか、また需給均衡を求めることが競争均衡を求めるということなのでしょうか？　このとき、どのようにして需給均衡が導かれるのかが分からない。

・(2)において、どうして(1)と効用が同じだと言えるのか？　具体的に理由がないために分かりません。

ということになります。1つだけの解答でもいいので、どなたか回答お願いします。

回答No.2

statecollege · ベストアンサー

【需給均衡とはつまり競争均衡ということでしょうか？　式はどんな意味を示しているのしょうか、生産量＝消費量という意味になっているのでしょうか？
数式から考えたらF(N，P)＝Nz　は　F(N，P)＝N｛1－(Q－P)^2｝の変形であるのは分かるが、どうして需給均衡なのかがわからない。
土地の需給均衡についても、なぜH＝Nhになるのかが理解できない。H＝Phになら納得がいくのですが。P＝Nというような前提があるのでしょうか？】

需給均衡式は
労働市場　P=N
消費財市場　F(N,P)=zN
土地市場　　H=ｈN

いずれも左辺が供給、右辺が需要をあらわしています。「解答」では一番目の式は書いてありませんが、理由はこのモデルではすべての住民は1単位の労働を初期保有量として所有しており、労働を供給するか、余暇を選択するという選択が存在せしない経済だからです。当然各住民は1単位の労働を企業に提供してwの賃金を得ることを前提にしています。

【なぜ効用水準が同じであると言えるのか、理由もなしに書かれているので理解できない。】

この4行目上で、z=w={1-(Q-P)^2}が得られていますが、これとh=H/N=H/Pとを効用関数へ代入すれば、U(P)に等しくなりませんか？
このU(P)はU(P)をPについて最大化する前のU(P)です。競争均衡バージョンではPは与えられたとして、各主体の選択と競争の結果として消費財の消費・生産、土地の消費、賃金、地代がどのように決定されるのかを示しているのです。

お礼

いろいろあってお礼が遅くなりましたが、ありがとうございました。
おかげで問題を理解することが出来ました。

回答No.1

statecollege

(1)P=Nを仮定しているからです。島の各住民はまったく同質（identical)ですから、島の最適な人口を求めるときにはすべての住民を平等に扱うことが自然です。全員が(平等に）生産に従事するので、P=Nとなる。
(2)競争均衡とは、各主体が価格を所与として最適な行動をしたとき、各市場の需給が均衡する（マーケットがクリアーする）ことをいう。ここで、主体とは、消費者＝労働者と企業のことです。各消費者=労働者は、消費財価格P(＝１と設定されている）、賃金ｗ、地代Rを所与として効用u=u(z,h)を最大化する消費財消費量ｚと土地の賃貸量ｈを選択する。各企業は価格P（＝１）と賃金ｗを所与として利潤を最大化する財の生産量と労働雇用量Nを選択する。こうして選択された財、労働、土地の賃貸の各市場の需給が均衡するとき、競争均衡が成立しているという。
(3)については時間がないので、時間ができたとき議論します。

お礼

再び回答してくださいましてありがとうございます。
N=Pが成り立つような気はしていたのですが、はっきりとした理由が分からず、もやもやしていました。これでようやく解答の意味も分かってきました。

申し訳ないとは思いますが、よろしかったら最後の疑問にも答えていただけると幸いです。
所得制約のもとで効用を最大化すると都市規模が最適なときの効用水準U(P)と等しくなると言われれば、何となくそんな気はするのですが、なぜそうなるのかという理由が出てきません。なぜ、(2)においても効用水準U(P)になるのでしょうか。