にゃんこ先生の自作問題、不定方程式で解を生成、ペル方程式ピタゴラス数東大入試
にゃんこ先生といいます。次のようにゃ問題が知られています。
ペル方程式
x^2-ny^2=1 (ただし、nは平方数ではない)
の整数解は、一つの解を見つければ、そっからすべての解が生成される。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%83%AB%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
ピタゴラス数
a^2+b^2=c^2
の自然数解（ただし、gcd(a,b,c)=1）は、(a,b,c)=(3,4,5)からすべての解が生成される。
http://mathworld.wolfram.com/PythagoreanTriple.html
2006東大入試問題
x^2+y^2+z^2=xyz(ただし、x≦y≦z)
の自然数解。
http://www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho/sokuho06/tokyo/zenki/sugaku_ri/mon4.html
と
http://www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho/sokuho06/tokyo/zenki/sugaku_ri/kai4.html
入試には解は無数あることを証明させていますが、実際にはすべての解を求めることが出来ます。
その方針は、
(1)y≦3となるものは、(x,y,z)=(3,3,3),(3,3,6)
(2)(a,b,c)が解のとき、(b,c,bc-a)も解でc<bc-a
(3)逆に、(a,b,c)が解のとき、(ab-c,a,b)も解。
このとき、b≧aとなるが、b=aのときは、(x,y,z)=(3,3,3),(3,3,6)のときのみ。
b＞aのときは、繰り返すことでそれらに帰着される。
つまりは、(x,y,z)=(3,3,3)を出発して、
(a,b,c) → (b,c,bc-a)
を考えることで、すべての解が生成されます。
ペル方程式の生成理論は分かるのですが、ピタゴラス数や2006東大入試
において、解の生成する方法はどのように考えられたのでしょうか?
