至急！解き方を教えてください！

質問

Q.すべての自然数nについて、3^(3n)-2^nは25の倍数であることを示せ。

A.n=1のとき、3^(3・1)-2^1=25
よって、3^(3n)-2^nは25の倍数

n=kのとき、3^(3n)-2^nは25の倍数であると仮定すると、3^(3k)-2^k=25m(mは整数)と表される。

n=k+1のとき、3^{3(k+1)}-2^(k+1)=3^(3k)・3^3-2^k・2=???

解いてみましたが???以降の解き方がわかりません。

それ以前に間違えているところがあるかもしれません(汗

足りない説明や別解があったら教えていただきたいです。

よろしくお願いしますm(__)m

回答No.4

Tacosan

任意の正整数 n に対し x^n-y^n は x-y で割り切れるよね.

回答No.3

spring135

3^{3(k+1)}-2^(k+1)=3^(3k)・3^3-2^k・2
=27(3^(3k))-2・2^k (1)

3^(3k)-2^k=25mより

3^(3k)=2^k+25m

(1)へ代入

3^{3(k+1)}-2^(k+1)=27(3^(3k))-2・2^k
=27(2^k+25m)-2・2^k
=25・2^k+27・25m
=25(2^k+27m)

QED

回答No.2

rnakamra

3^(3k)-2^k=25mを変形して
3^(3k)=2^k+25m
この式をn=k+1の場合の式の3^(3k)に代入して整理すると良いでしょう。

回答No.1

R_Earl

3^(3k)・3^3-2^k・2を色々変形して無理矢理、
25の倍数であると仮定している3^(3k)-2^kを作ってみると良いです。
例えば

3^(3k)・3^3-2^k・2
= 27・3^(3k) - 2・2^k
= 2・(3^(3k) - 2^k) + 25・3^(3k)

という感じに変形してみます。
2・(3^(3k) - 2^k)は25の倍数で、
25・3^(3k)も25の倍数なので、
この2つを足した2・(3^(3k) - 2^k) + 25・3^(3k)も2の倍数ですよね。