複素解析学の問題を教えていただきたいです。

質問

複素解析学の問題を教えていただきたいです、

キーボードだと入力しにくいので画像にしました。どうかよろしくお願いいたします。

回答No.1

Ae610 · ベストアンサー

f(z) = (e^(iz) - 1)/z^2・・・を考え、積分路を半径Rで上半平面を反時計方向に沿う半円CR、
実軸(-R,-r]および[r,R)、原点の上半平面側を時計方向に半径rに沿った円Crに取る。
コーシー積分定理により
{∫(CR) + ∫[-R,-r] + ∫(Cr) + ∫[r,R]}{(e^(iz) - 1)/z^2}dz = 0
第2項目と4項目の積分を足してまとめると
－∫[r,R]{4・sin^2(x/2)/x^2}dx・・・(1)
となる。
第1項目の積分路における積分はR→∞のとき→0になる。
第3項目の積分路における積分はその留数を求めると－πi・Res(0)で求められる。
Res(e^(iz) - 1)/z^2;z=0)= iだから
第3項目の積分 = －πi^2 = π
(1)の積分でx/2 = tと置いて変数変換した後tをxに戻し、r→0 , R→∞にとれば
∫[0→∞]{(sin(x)/x)^2}dx = π/2

お礼

ありがとうございました！本当にいくら感謝してもしきれません。