サイコロの目に関する確率

質問

初歩的なことを教えて下さい。
1～16迄の目があるサイコロを、16人が同時にサイコロを振りました。この時、サイコロの目が重複(2個以上)する確率を教えて下さい。ここでの重複は、全て一致する場合や、別々の目がそれぞれ重複した場合も含みます。
恐れ入りますが、分かりやすくご回答頂けたら助かります。宜しくお願いします。

回答No.9

ymmasayan

１６人の誰かが重なるのですから（１－１人も重ならない確率）を求めればいいですね。
１人も重ならないためには、１人目が１６通りのうちの一つ、
２人目が１５通りのうちの一つという風に選んでいって、結局１６！通りとなります。
全部の組み合わせは１６＾１６ですからダブらない確率は(16!/(16^16))です。
答えは１－(16!/(16^16))となります。

お礼

分かりやすい回答有難うございました。とても勉強になりました。

回答No.8

colocolo62

hinebotさん、eiji2003さんの
＞16人全員が異なる確率を求めて、１から引けばよい
は、なるほどですが、1/16^16は全員異なる確率でしょうか。

一人目が、何かの数字を出す確率が、
1/16

二人目が、一人目とは違う数字を出す確率は
15/16

三人目が、一人目・二人目と違う数字を出す確率は
14/16

....
となって、一人目が出す数字は16種類あるので....

(1/16)×(15/16)×(14/16)×・・・・×(1/16)×16
つまり
(16×15×・・・×1）/16^16
が、全員が異なる数字を出す確率で、

1－(16×15×・・・×1）/16^16
が、i-miyoさんご所望の値ではないでしょうか。

回答No.7

hinebot

#4です。
ごめんなさい。勘違いしました。
#5さんの計算が正しいです。
失礼しました。

回答No.6

old98best

サイコロの目が１６通りあるのですから、１つのサイコロで特定の目が出る確立は１／１６ですね。
１６個のサイコロで、全てのサイコロに特定の目が出る確立は１６の１６乗という事になります。
つまり、全ての目の組み合わせは１６の１６乗通りだというわけです。

さて、その中で最低２つが同じ目という場合を考えると、最初のサイコロの目をなにか仮定してね次のサイコロが同じ目である確立は１６／１です。
同様に、他の１５個が同じ目になる確立は１／１６ですから、１５個のうちどれか１つ以上が同じ目になる確立は１５／１６という事になります。

２つ以上（３個でも１６個でも…）が同じ目になる確立は、１５／１６になるのかな゜？

これが演繹法（順）の解き方ですね。
逆の解き方だと、１６個のサイコロの出る目が全て違う確立を出します。
ちょっと計算が複雑になりますけど、どうやら１／１６のようです。
だから、全部が違う目では無い、つまり最低２つが同じというのは１５／１６になるようです。

補足

回答ありがとうございます。
皆さんからいろいろと回答を頂きましたが、演繹法（順）とその逆の解き方ではなにか結果が違うような気がするのですが、そのようなことは有るのですか？（#13,12,8さんなどは重複しない確率から算出してます）

回答No.5

noname#5344

全く一致しない確率は
（１６分の１６）×（１６分の１５）×（１６分の１４）×・・・・・×（１６分の１）

16*15*14*13*12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1
-----------------------------------------------
16*16*16*16*16*16*16*16*16*16*16*16*16*16*16*16

＝

638512875
---------------
562949953421312

重複する確率はこれの逆だから、

562949314908437
---------------
562949953421312

考え方はあってると思うんですけどね。
ホントにこんな問題ですか？

お礼

早速の回答ありがとうございます。今回のは問題というよりちょっとした仕事で急遽確率を算出しなくてはならなくなってしまったものです。

回答No.4

hinebot

幾何的（物理的？）に16面のサイコロについて、どの面がでる確率も同じというのは有りえないですけど…。

ま、それは置いておいて、どの面も同じ確率つまり1/16 とします。
この場合は、16人全員が異なる確率を求めて、１から引けばよいわけです。
16人全員が異なる確率は、
(1/16)×(1/16)×…×(1/16)　 ※16回かけます
=1/16^16 = 1/184467073709551616
よって、求める確率は
1-1/16^16 = 184467073709551615/184467073709551616

つまり、限りなく１に近いということですね。

回答No.3

colocolo62

16人がすべて一致する確率
(1/16)^16×16

15人が一致する確率
(1/16)^15×(15/16)×16

14人が一致する確率
(1/16)^14×(15/16)^2×16

という風に順に計算していけばよいのではないでしょうか。

回答No.2

eiji2003

１６人もいるので、１から「サイコロの目がすべて異なる場合」を引けばよいとおもいます。

サイコロの目がすべて異なる確率は１/(16^16) ・・・Ａとする

だからサイコロの目が重複する確率は1－A
となります。計算はご自分でなさってください

回答No.1

PAPA0427

１６面のサイコロですから、ある数字が出る確率は１／１６になりますね。で、１６人同時だから１／１６×１６＝１（１００％）では？