拘束力の仮想仕事の総和はなぜ０なのか？

質問

仕切り直しです。質問の内容をより深めてみました。

解析力学では物体に、保存力、非保存力、慣性力と拘束力が働きますが、
拘束力は拘束条件内で可能な任意の仮想変位に対し、その総和として仕事を
しないことになっています。

これとダランベールの原理とラグランジュの未定乗数法を組み合わせると、
ニュートン力学が導き出せるので、これをそのまま原理として受け止めても
よいのかもしれませんが、何かそう決めてよいだけの理由があるように
思えてしかたありません。どういう経緯過去の偉人がこうした原理を導入すると
うまくゆくと考えたのか非常に興味が有るのですが、手持ちの本では、
公理的にしか扱っていません。

もしこの辺りの考察に詳しい本やサイトをご存知の方が
おられましたら、よろしくお願い致します。

回答No.3

eatern27

>ニュートン力学では、力のつり合いが系の質点別に成立する
>と考えますが、解析力学では、つりあいは系全体の仮想仕事の総和が
>0になると考えます。
基本的には同じ事を違う言葉で言っているだけでは。

>そうすると、仮想変位という現実にはありえない、時刻差0で発生する
>変位というものに数学的なからくりがあるような気がします。
「時刻差0で発生する変位」とは？

補足

>基本的には同じ事を違う言葉で言っているだけでは。
拘束条件がない場合は単なる言い換えにすぎません。

>「時刻差0で発生する変位」とは？

これは解析力学の仮想変位の定義です。
この条件のおかげで拘束条件が陽に時間w含んでいても
無視できます。

で、結論なんですが、まだ納得はいかないものの、

The Variational Priciple of Mechanics(Lanczos)

によると、「仮想仕事の原理はニュートン力学よりも
根本的な原理で、解析力学の力学への唯一の
拡張であり、ニュートン力学から導くことは
できない。」そうで、

仮想仕事の原理から、束縛の仮想仕事の総和が0で
あることが導ける。

だそうです。

これを読む限り、私は公理/公準を証明しようと
していたようです。

回答No.2

my3027

単純に作用反作用でΣF=ΣM=0となるからでは？

補足

ありがとうございます。

私もこの線(内力の作用と反作用が仮想仕事を打ち消す)を
ずいぶん考えたのですが、
作用と反作用の片方だけが拘束力のケースがあるようで
うまくゆきませんでした。

何か見落としがあるかもしれませんが．．．

回答No.1

eatern27

ホロノミックな拘束の場合に限った話になるかと思いますが、

基本的なとしては前の質問の最初の方のご回答の通り拘束力は拘束条件で表される曲面に垂直だからという理解で良いはずです。

つまり、拘束条件がない場合には物体(たち)には何らかの力が働きます。この力は考えている曲面に垂直な成分と平行な成分に分解する事ができます。物体がこの曲面に外にはみ出ないためにはこの垂直成分が適当な値でなければいけません。従って拘束条件を課すと垂直線分がその値になるように「拘束力」が働くわけです。
一方、平行成分に関しては拘束条件からは何も制限が付きません。つまり曲面に平行な力が働いていたとしても、それは拘束条件から出てきた力ではないという事です。拘束条件に由来しない以上「拘束力」とは呼びません。
そうすると、拘束力は曲面と直交するので物体の変位(これは曲面に平行)であり仕事がゼロとなる事が分かります。

ただし、ここでいう曲面などは必ずしも３次元空間上での曲面ではありません。
N個の座標変数を選んでいるのであれば、N次元空間上の曲面です。
で、貴方の言う「仕事の総和」は、このN次元空間上の力と変位の内積(仕事)に対応していますので仕事の総和はゼロになります。

・・・というような理解でよいのじゃないかな？

おもりをロープでつないで滑車にひっかけた場合を考えた場合であれば、
おもり座標はx1,x2の2個で記述されるので２次元(おもりのy,z成分も考えるのなら６次元)空間上のx1+x2=一定という平面に運動が制限される事になります。
この2次元空間で考えた時の力はこの平面に垂直しているので仕事(の総和)がゼロになります。

補足

ありがとうございます。

束縛力は N次元の垂直効力のようなものというご意見には同意します。

こちらでも少し考えてみたのですが、

ニュートン力学では、力のつり合いが系の質点別に成立する
と考えますが、解析力学では、つりあいは系全体の仮想仕事の総和が
0になると考えます。

一見、ずいぶんゆるい釣り合い条件のように思えますが、
仮想変位は拘束条件の許す「任意の」変位なので、結構きつい条件と言えます。

以上の「ゆるさ」と「きつさ」があいまって、解がニュートン力学に
落ち着くような気がするのですが、

そうすると、仮想変位という現実にはありえない、時刻差0で発生する
変位というものに数学的なからくりがあるような気がします。

今のところそれが何か見えてません。