鉛直面内での等速円運動

質問

鉛直面内での等速円運動で、
最下点から少なくとも最上点まで到達するには
どれだけの初速度を与えたらよいか、という問題で、
方程式を立てるときに
支えているものが糸か棒かで方程式が違いますよね？

というか、最上点での速さを０にしていいかどうかが違いますよね？

糸の時は速さを０にできないのはなぜですか？

教えてください。
お願いします。。

回答No.5

noname#154783 · ベストアンサー

この円運動を静止している人が見るか，円運動している物体の立場から見るかによって，その捉え方は変わってきます．

ANo.1の回答は静止している人から見たものです．

「遠心力」というのは，円運動している物体の立場から見たとき，この物体が感じる見かけ上の力であり，静止している人の立場では遠心力を考えてはいけません．

以下，「糸」の場合に，2通りの立場でこの円運動を見てみましょう．

[I] 静止している人からこの円運動を見た場合．

円運動する物体に働く力は
重力 m g と糸の張力 T
の2つです．これが「原因」です．

この「原因」により，物体は円運動しています．
円運動しているということは中心向きの加速度（向心加速度）v^2 /R
が生じているわけで，これが「結果」です．

この「原因」と「結果」を結びつけるのが運動方程式で，向心方向の運動方程式は次のようになります：

m v^2 /R = m g + T. …(1)

で，「糸の張力は負になれない」という条件を使うため，上の式を T = … という形にすると，

T = m v^2 /R - m g.

したがって，「糸の張力は負になれない」という条件は次のようになります：

m v^2 /R - m g ≧ 0

v = 0 のときこの不等式が満たされないことは明らかでしょう．

[II] 円運動する物体の立場でこの円運動を見た場合．

自分自身は常に静止しています．「景色が動くから自分が動いているのは判るじゃないか」とか思うかもしれませんが，それは経験上知っているということであり，動いている立場から見ると，飽くまで動いているのは周り（景色）であり，自分はじっとしています．

じっとしているということは，「物体に働いている力は釣り合っている」ということです．つまり物体に働く力が原因となって生じる加速度は0だということです．

今，円運動する物体に働いている力は飽くまで
重力 m g と糸の張力 T
の2つです．

ところが，この物体は円運動（加速度運動）しているので，上の2つの力の他に「見かけ上の力（慣性力）」として遠心力が働いているように見えるのです．その大きさは
m v^2 /R
（向心力と同じ大きさ）なのですが，中心と反対側を向いています．

したがって，最上点における向心方向の運動方程式（釣り合いの式）は次のようになります：

0 = m g + T - m v^2 /R. …(2)

この式は結局，[I]の場合の運動方程式(1)と等価なのですが，全く違った考え方で導出されたものです．

> ということは、糸の場合に最上点での速さを０にしたら
> 重力と釣り合うべき力(遠心力ですか？)
> がなくなってしまうから、０にはできずに
> 張力がはたらいているという条件にしたんですね。
>
> 速さがないと遠心力はありませんよね？

この考え方は[II]の立場によるものなのですが，「重力と釣り合うべき力(遠心力ですか？)」ではなく，
物体に働く本当の力（重力 + 糸の張力）と遠心力とが釣り合うのです．

[II]の立場だと，「釣り合いを成り立たせるために張力を導入した」のではなく「重力も張力も物体には働いていて，なおかつ見かけ上の力としての遠心力も働いていて，結果としてこれらすべての力を合成したものが0となる（釣り合う）」のです．

で，「糸の張力は負になれない」という事実から，最上点の速度が制限されるんです．

お礼

何度もご丁寧にすみません。
ありがとうこざいます。