鉛直面内での等速円運動

質問

鉛直面内での等速円運動で、
最下点から少なくとも最上点まで到達するには
どれだけの初速度を与えたらよいか、という問題で、
方程式を立てるときに
支えているものが糸か棒かで方程式が違いますよね？

というか、最上点での速さを０にしていいかどうかが違いますよね？

糸の時は速さを０にできないのはなぜですか？

教えてください。
お願いします。。

回答No.1

noname#154783

最上点での速さを0にすると，最上点での向心加速度は0になります．

# 回転半径をRとすると，
# 向心加速度 = v^2/R = 0 (v = 0).

したがって，最上点での速さが0なら最上点において働く力を合成したものの向心成分は0でなければなりません．
しかるに，最上点では重力が中心向きに働いています．ということは，最上点において働く力を合成したものの向心成分が0になるためには遠心方向に何らかの力が働かなきゃいけません．

棒の場合は中心向きに働く重力に抗して遠心方向に突っ張る抗力が上述の「何らかの力」として働きますので，上述のような「最上点で速さ0」という状況が可能です．

ところが，糸の場合，中心向きに働く重力に抗して遠心方向に突っ張ることができませんので，上述のような「最上点で速さ0」という状況が不可能なのです．

なので，回転中心を位置エネルギーの基準として糸の場合を考えると，初速度をv0，最上点での速度をv，最上点での糸の張力（中心向き）をTとして，力学的エネルギー保存則より

m v0^2 /2 - m g R = m v^2 /2 + m g R. …(1)

向心方向の運動方程式

m v^2 /R = mg + T. …(2)

(1)，(2)よりvを消去し，Tについて解くと，
T = m v0^2 /R - 5 m g.

張力は中心向きにしか働かないからT ≧ 0.
すなわち

m v0^2 /R - 5 m g ≧ 0.
∴v0 ≧ √(5 g R).

お礼

ご回答ありがとうございます。

補足

棒には抗力があるのに、糸には抗力はないのは
なぜですか？