点と直線の関係

質問

ふと思ったのですが昔、数学の授業で直線は点の集まりであると習いましたが、点に幅（厚み？）って無いですよね？
幅の無いもの並べても線のような幅のあるものには、ならなくないですか？

ちなみにこのカテゴリはなんですか？
国語、数学、哲学あたりで迷ったんですが・・・

回答No.7

carvelo

＞幅の無いもの並べても線のような幅のあるものには、ならなくないですか？

この問題はとても難しくて，僕のような工学を学んでる途中の人間にはとても説明できないのですが，大学レベルの集合論とかを勉強すると分かるかもしれません．

以下は，自分が本とかから得てきた，関係する知識の断片です…．

数直線の区間[0,1]を考えた場合，そこに含まれる有理数だけを取り出すと長さは0（幅は無い！）という結論が出てきます．
無理数を考えると区間[0,1]の数直線の長さはちゃんと1になるそうです．

No5の方は有理数だけで議論してしまっていますが，有理数は実数の中では少数派なのです．

（蛇足）---------------------------------------------
自分は実は，なぜNo5の方の議論から，数直線を埋め尽くせないという結論に達するのか理解できていません…．あれだけですと，いくらでも0に近い有理数があって，同じように数直線上のどの点に注目しても，いくらでもその点に近い有理数が存在する．だから，有理数で埋め尽くせる．という結論に達してもおかしくないかと思います．
実際，有理数は，数直線上にぎっしりと詰まっています（有理数の「稠密性」といいます）．つまり，なんか2つの異なる有理数 a, b (a<b) を取ってくれば，必ずその間にある別の有理数 c (a<c<b) を作ることができます．だから，ある点に注目したとき，その点にいくらでも近い有理数を見つけることができます．じゃぁ，実際隙間なく埋めているのか，というとそうではないのですが，そこを議論するためには，「連続性」という概念が必要になってきます．
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無理数と言うやつは有理数よりもずっとぎっしり詰まっています．
言い方を変えると，無理数の方が有理数より大きな集合です．

無限個の要素がある集合の「大きさ」を比較するためには，普通，自然数と一個一個対応させていく，という作業をします．
要素に1番，2番，…と番号をつけていく，と言ってもいいです．
これは，ひとクラスの生徒の数を数えるのに，生徒自体ではなく教室にある机の数を数えてみる，みたいな発想です．
大きさを知りたい集合の要素を生徒，自然数を机だと思ってください．

すると，実は有理数と自然数はちゃんと一個一個の対応（一対一対応，といいます）をとることができてしまいます．
有理数の様に，自然数と一対一対応を作ることができる無限集合を可算集合といいます．

では，無理数は，というと，もう想像がつくように対応がとれません．
無理数（生徒）に対して自然数（机）が少なすぎるわけです．

ここら辺の議論はここに書くのは大変なので，例えば，「無理数の濃度」などのキーワードで検索してみてください．

で，「上に書いてあるような話から，なんで実数の集合が長さを持つ，という結論が出てくるのか」という肝心なところには，力不足で答えられないのですが，参考になれば幸いです．

お礼

回答ありがとうございます。
数直線の区間[0,1]を考えた場合，そこに含まれる有理数だけを取り出すと長さは0（幅は無い！）という結論が出てきます。
とありますがこれは何の長さのことでしょうか？