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点と直線の関係
noname#221368の回答
#6です（←しつこいですね^^） #6の(2)を（実質的に）アナログ思考で解決したのが一般位相論と書きましたが、（実質的に）デジタル思考で、ということは数体系より（集合論より）で解決したものが、既にあります。 余り人気はありませんが、それが超準解析といわれる分野です。超準解析においても、０×無限大＝０は変わりませんが、無限小×無限大＝１を、他の数学分野と矛盾しないように、決めます（定式化する）。 ここでの趣旨は、 ・数学の先生だって、悩むところは皆同じ。 ・・・です^^。 ところで無限小って、線分を無限に分割して「行く」ときの細片であって、厳密な「点」とは違って、０でない幅を持ってるのでは？、という疑問はあると思います。 ・その通りです^^。 という事は、超準解析にも結局は、幾何学的（アナログな）アプローチが潜んでいて、完全なデジタル思考ではないのでは？。 ・その通りです^^。 そうです。無限集合論においても、０×無限大＝０を認めたという事は、「幅の無いものを並べたって幅は出来ない」事を認めた、敗北宣言のようなものであり、その意味で#5さんは全く正しいです。（←村田先生の受け売り） しかし、ものはやりようでもあります。例えば、他の数学分野と矛盾しないように無限小を定義しておいて、定義の中で、それに「点」という名前でも与えておくと、あたかも「０×無限大＝１であるかのような」論理操作が可能になってしまうのです。 この「思考を単純化する計算技術」は、幾何学的アナログイメージにも、数体系のデジタルイメージにも馴染み、他の方法では得られない、明快な証明の見通しを与えてくれます。他の方法とは、標準的なε－δ論法です。高校生の方と思いますが、ε－δは、大学に入ったらやるかも知れません。 ε－δの元凶（？）である位相論においては、この事実が近傍系の定義の中に、巧妙に隠されていますが、位相論の基本は、もともと幾何学的（アナログな）アプローチなので、そもそも問題にもされません。（近傍系のイメージは、#2さんです） 以上が、#6で述べた「技術的に可能か？」と「使えるものが出来れば良い」の結果です。 個人的意見では、「幅の無いものを並べたって幅は出来ない」のは、０×無限大＝０である以上、当たり前です。ただし理系である以上、この「無理」には付き合う必要があります。数学には、「こう考えたいのだ」という意志があります。（←村田先生の受け売り？） 超準解析が出来たのは、今から50年も前の事です。現在標準である位相的発想は、150年以上前からあり、現代的に定式化されたのは、80年くらい前でしょうか？。それらが今やっと、大学の初年級の教育現場に定着して来たところです。さらにそれらは、高校や中学の教育現場へ、「幅の無いものを並べたって幅は出来ない」事や「意志」を置き去りにしながら、降ろされていきます。これらが教育的配慮であるのは、わかるのですけど・・・。 悩みますよね・・・(^^)；。
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