点と直線の関係

質問

ふと思ったのですが昔、数学の授業で直線は点の集まりであると習いましたが、点に幅（厚み？）って無いですよね？
幅の無いもの並べても線のような幅のあるものには、ならなくないですか？

ちなみにこのカテゴリはなんですか？
国語、数学、哲学あたりで迷ったんですが・・・

回答No.6

noname#221368

村田全はこれを、アナログ思考とデジタル思考の対決、と言っているように見えますが、言い当て妙だと思います。#5さんの(2)や(3)の操作がデジタル思考で、結論の方がアナログ思考です。現在の数学では、どっちも正しいとみなされています。ところで(2)や(3)は、有理数を作っているのと同じです。つまり、線分に数値を当てて、数直線を考え始めたのが、こういう事の起こりです。

　数直線を正式に定式化した人は座標平面を考え出したデカルトですが、デカルトは昔から漠然と考えられていた事を、整備された数体系に基づいて目に見えるように明確化しただけだ、とも言えます。どれくらい昔かというと、ギリシャ時代にまで遡れます。それくらい昔から、この手の疑問はありました。これは「アキレスと亀」や「ゼノンのパラドックス」と本質的に同じだ、というのが村田全の意見です。村田全は職業数学者（プロの数学者）ですが、ギリシャ時代の自然哲学と、技術的に整備された現代数学の関係を議論してくれる、数少ない人です。

　以下、哲学的な話は余り期待しないで下さい。自分は工学屋なので・・・。

　#5さんの議論は正当です。正当ですが、それでも数直線を点の集まりとみなしたいので（ここが根っこです）、点の数を数えだします。いま線分の長さを１として、#5さんの操作をどんどん続ければ、明らかに点は無限個あります。でも待って下さい。無限なんて誰も見た人はいないんですよ。これは無限は存在する、という仮定ではないですか？。しかし「だから、線は点の集まりではない」とはなりませんでした。どうしても「線は点の集まりと考えたい」からです。だとすれば、誰も見た事のない無限を仮定して良いとすれば、次の(1)は確実にしても、(2)と決めても良いのでは？、となります。という訳で、無限集合論も、この話には途中参戦します。

　　(1)０×有限＝０（これは確実）
　　(2)０×∞＝１（可能だろうか？）　

　もし(2)が許されるなら、デジタル／アナログどちらの方法も満足できて、一挙両得です。というかデジタル（数計算）とアナログ（幾何学）を融合した方法は、一般的に言って非常に強力です。その代表は、ベクトルなどです。座標平面を使った、考える事のない、計算幾何学を思えば、その価値はわかると思います。

　だとすれば「無理をしてでも」、(2)を試す価値はあるわけです。ここで話は、ギリシャ以来の哲学論争から、

　　(3)無理を承知で線は点の集まりと考える。技術的にそれは可能か？

という、技術研究に具体化されます。

　可能の意味は、既存の数体系と幾何学に矛盾せずに、(2)を認められるか？という事です。「矛盾せずに」とは、計算結果が現実と合うか？、という事でもあります。もし可能なら、点の集まりが実在論的にどうであれ、正しい結果を導く一種の記号操作に過ぎないのだから、それでいいじゃないか、という訳です。

　ところが(2)は、無限集合論を使っても、０×無限＝０でなければならない事が、その後示されます。しかし同時に、(2)と同等な事を可能とする数学理論も開発されます（正面切っては言われませんが）。それがコーシー方式の実数論と、それを一般化した一般位相論で、#2さんの方向の延長上にあります。

　大学の数学には、図が一つも出てこないのに、幾何学的証明と言われるものがあります。位相の証明は、その代表です。この時、頭の中では本当は、図をイメージしています。
　位相論の中では、語弊を承知で言えば、幾何学的に(2)が許されますが、それは数体系（集合論）とは無関係になされるので、０×無限＝０と矛盾しません。矛盾しないどころか、集合論の結果はバシバシ使われます。そういう意味では、アナログとデジタルの融合です。

　要するに（実質的にですが）(2)を許すような技術的方法はあった、という事です。ひどい言い方ですが、使えるものが出来れば良い、というのが歴史的経緯になります。

　だから悩むわけです。そりゃっ自分も悩みましたよ、もちろん！・・・^^。

　最後に、ここでの趣旨は(3)です。

お礼

回答ありがとうございます。
つまり　そっちの方が都合いいからってことですか？