１次変換の問題について

質問

１次変換についての問題をといています。
次の問題について教えてください

次の各行列で表される１次変換により自分自身に移される直線の方程式をすべて求めよ
行列　　　３ ２
　　　　　　２ ３

この問題の考え方からさっぱりです。
よろしくお願いします。

行列式が見にくくてすいません

回答No.5

中村 拓男（@tknakamuri）

これ結構奥が深そうですよ。

直線の方程式を x = x0 + at(x は直線上の点、x0とaは固定ベクトル、 t は媒介変数)
とすると、A を一次変換行列とすると

x' = Ax = A x0 + Aat

ベクトル a は直線の傾きで、その方向は一次変換後も変化しないはずだから、Aa = λa
なので、λ(≠ 0)が A　の固有値で、aは固有ベクトルになるはず。

特性方程式 det(A - λI) = 0 から λ=1, 5(λ1=5, λ2=1) なので、
固有ベクトルは b = (1, 1) (λ1 = 5)、c = (1, -1) (λ2=1)

b と c は一次独立だから x0 = d1 b + d2 c (d1, d2は複素定数)
とし、まず、a = b とすると

A x0 = λ1 d1 b + λ2 d2 c

x0 の c ベクトルの係数は一次変換で変化してはいけないはずなので
d2 = λ2 d2 だから d2 = 0 又は λ2 = 1 だが、λ2 = 1 なので、d2 は
任意の値でよいことになる。つまり

■直線 x = x0 + t(1, 1) (x0 は任意) は A によって自身に写される。

次に、a = c の場合ですが、この場合は　x0 の b ベクトルの係数が
変化してはいけないので　d1 = λ1 d1 だから d1 = 0 又は λ1 = 1 だが、
λ1 ≠ 1 なので d1 = 0。つまり

■直線 x = t(1, -1) (x0 は任意) は A によって自身に写される。

以上、まとめると、傾きが 1 の直線は全て A で自身に写されますが、
傾きが -1 の直線は、原点を通る直線しか自身に写されません。

以上です。いや、面白かった。