• ベストアンサー

複素平面の偏角(フィードバック制御-根軌跡)

フィードバック制御に関する図書で、根軌跡の性質について証明があったのですが、位相条件を求めるところで理解できない部分がありました。 質問したい部分を要約しますと 伝達関数G(s) G(s)={(s-z1)(s-z2)…(s-zm)}/{(s-p1)(s-p2)…(s-pn)} (n≧m) s:(根軌跡上の)複素数 z:零点 p:極 G(s)の偏角を取ると arg(G(s))=Σarg(s-zi)-Σarg(s-pi)   (i=1~m) と書いてあるのですが、なぜ偏角がこのように求められるのかが、理解できずに詰まってしまいました。 どなたかわかる方、助言をお願いします。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • foobar
  • ベストアンサー率44% (1423/3185)
回答No.1

複素数の積は極座標で表すと、A∠a*B∠b=(A*B)∠(a+b) です。 このように、複素数の積の偏角は元の偏角の和(商のときは差)なので、G(s)の偏角はそれぞれの偏角の和で表せます。

nozooo
質問者

お礼

早速のご回答ありがとうございます。 恥ずかしながら、基本的なことを見逃していたみたいです。 ご教授いただき助かりました。

関連するQ&A

  • 根軌跡の性質

    閉ループ伝達関数がKG(s)/{1+KG(s)H(s)}となる制御系で、一巡伝達関数KG(s)H(s)を新たにG(s)とおく。 すると、閉ループ伝達関数の特性方程式は1+G(s)=0となり、G(s)=-1となる。 これより、このG(s)に関して ゲイン条件|G(s)|=1,位相条件∠G(s)=π±2kπが常に成立する。 この伝達関数G(s)の分母を極pi(i=1,2,....,n),分子を零点qj(j=1,2,....,m)を使って表すと、G(s)={K(s-q1)(s-q2)・・・(s-qm)}/{(s-p1)(s-p2)・・・(s-pn)}となる。 ここで、式G(s)=-1よりΠ[i=1~n](s-pi)+KΠ[j=1~m](s-qj)=0 または(1/K){Π[i=1~n](s-pi)}+Π[j=1~m](s-qj)=0と表せる。 質問です。 根軌跡の性質として、無限遠点に至る根軌跡の漸近線と実軸の交点が{Σ[i=1~n]pi-Σ[j=1~m]qj}/(n-m)となるのはなぜでしょうか。 また、根軌跡の性質として、実軸上の点で、右側の実軸上に一巡伝達関数の極または零点が奇数個存在するならば、その点は根軌跡上の点である。とありますが、ある点の右側の実軸上に極・零点が偶数個存在するならば、なぜこの点は根軌跡上に存在しないのか確かめる方法を教えてください。

  • 制御工学における不安定零点の定義

    皆さんよろしくお願いいたします。 制御工学において、ボードの定理を勉強中です。 ボードの定理の前提となっている最小位相推移系の1つの条件として 不安定零点を持たない系(もう1つは安定極であること)があります。 不安定零点とは何でしょうか? 教科書では、伝達関数     K(s-z1)(s-z2)・・・(s-zm) G(s)=----------     ただし(m≦n)     (s-p1)(s-p2)・・・(s-pn) において、不安定零点とはRe(zm)<0と定義していますが、なぜでしょう。 不安定という形容詞が付いているくらいなので、その名の 由来及び定義または、それらを掲載しているURLなどをご存知の方、 いらっしゃいましたらご教示いただきたく、お願いいたします。

  • 高木貞治「 解析概論 」(岩波書店)の記載の疑問点

    題記の文献の p.119 "36. Legendre の球函数" の項目の中に p.121 の ( 5° ) として Pn (x) を n次 ( n≧1 ) の Legendre の多項式 としたとき、次のような記述があります。 ( 5° ) Pn (x) = 0 の根はすべて実数で -1 と 1 との間にある。それらは単根で、Pn-1 (x) = 0 の根によって隔離される。すなわち Pn (x) の隣り合わせの二つの根の間に Pn-1 (x) = 0 の根が一つずつ配置される。 とあり、その下には以下のような説明が付記されています。 …… Pn (x) と Pn-1 (x) との間の根の配置は ( 2°) および ( 7 ) からわかる。…… 因みに、 ( 2°) Pn (1) = 1, Pn (-1) = ( -1 )^n そして(7)は ( 4° ) 循環公式 ( n+1 )*Pn+1 (x) - ( 2n+1 )*x*Pn (x) + n*Pn-1 (x) = 0 ( 7 ) です。 私の勉強不足なのか、( 5° ) の定理そのものは内容は理解できるのですが、詳しい証明もなしに、一行にも満たない短文で、自明のように書かれている付記説明の「 …わかる。」という所が全く理解不能です。 この部分を説明した文献の紹介でも結構ですので、どなたか、ご教示いただきたく、よろしくお願いいたします。

  • 位数6の群を分類したいです。

    Gを位数が6の群とする G≅Z/6Z or S3 のどちらかに同型になることを示したいのですが、 シローの定理からP3:3-Sylow部分群 s3:P3の個数 P2:2-Sylow部分群 s2:P2の個数 とすると、シローの定理からs3=1、s2=1,3となり、 (1)s2=1の時は、G≅Z/2Z×Z/3Z≅Z/6Z ということは分かったのですが、 (2)s2=3の時はG≅S3になると思うのですが、これをどう示したらよいかが分かりません。 教えていただけませんですか?

  • 複素平面上の軌跡について

    お世話になっております。高校数学複素平面からの質問です。 問「点zが、原点Oを中心とする半径2の円を描くとき、点-4と点zを結ぶ線分の中点wは、どのような図形を描くか」という基本的な問題なのですが、教科書ガイドの解説に一部よく分からない点がありましたので、アドバイス戴ければ幸いです。 まず、 |z|=2…(1) とおく。これが問題冒頭の点zの軌跡を表す。 次に、点-4とzの中点wはzが変数であるから、wもまた変数であり、 w=(-4+z)/2 が言える。これをz=2(w+2)…(2) として(2)を(1)に代入すると、 |2(w+2)|=2。 ここまでは、形は違えどデカルト平面の場合とやってることは根本的に同じだから分かるのですが、このあと、 「即ち、 |w+2|=1…(3)」 と変形されるのがよく分からず、 結局自分で勝手に w=x+yi と置いて、複素数の絶対値の定義から (x+2)^2+y^2=1 より、中心が(-2,0)、半径が1の円を描く としてしまったのですが、これはマズいですよね? 一応答えは一致したのですが……出来れば、(3)の変形が成立つ理由を教えて下さると助かります。宜しくお願いします

  • 任意の正の整数Mに対して、M<g_p<p-1となる無限に多くの素数pが存在する

    次の結果は初等的に証明することができるとかいてあったのですが、つまずいています。 g_pは法pでの最小の原始根( 1<g_p<p )のことです。 すべての素数について原始根g(1≦g≦p-1)が存在するのは理解できたのですが、最小といいますか最小の原始根は1だろうと思いますが、1でない次の原始根がMとp-Mの間に入るのは、帰納法ですと、まずM=2についてg_pが間に入る素数は原始根の表から一つは見つかりますが、無限に多くの素数があるかどうかで詰まっています。

  • 複素平面: 軌跡

    複素平面上に点A ;1-i 原点O 、線分OAの垂直二等分線上L上に点P(z) |Z|=|z-(1-i)|を満たしますよね。 問題:w=2/zとする。点Pが直線L上を動くとき、点Qはどのような図形を描くか。 直観的に円だと思いますが、どう説明すれば。 |W-α|=cの形がなかなか示せなくて。 ご助言よろしく。

  • 複素平面上の軌跡

    複素数zについて、z/(z-1)が純虚数であるようにzが変化するとき、zがえがく図形を求めて、複素平面上に図示せよ。 という問題の解答は、「点1/2を中心とする半径1/2の円。ただし、2点0,1を除く」です。 どのように考えていけば、この解答にたどりつくのでしょう?z=x+yiとおいて考えていったのですが、わからなくなってしまいました。よろしくお願いします。

  • 複素平面 偏角の範囲

    複素数平面上の3点ABCについて、角BACの大きさと三角形ABCの面積を求めよという問題なのですが、解答では-π<角βαγ≦πとしてやっていました。 なぜ、同じ2π分でも 0< 角βαγ ≦2πとはしないのでしょうか。 こういう偏角の範囲の取り方で、覚えておくべきこと、コツがありましたら教えてください。

  • マクロについて?

    現在他の人が作ったマクロを解読中ですがMコードのでのマクロ呼び出しの 部分で煮詰まっています。  :  :  G91G30P2Z0M19  M75  G04 P100 G28 Z0 M76 G30P2Z0 G4P100 M77  :  : と続く訳ですがMコードの意味が分かりません・・・ これはMコードを使用したサブプロ呼び出しなのか、単にMコードとして 使用しているのか・・・??? ちなみに FANUC 15-MA ですが分かりますでしょうか?