数学の二重積分の問題

質問

なんど、解きなおしても参考書のこの問題が解けません。

∬√（a^2-x^2-y^2）dxdy
範囲（x^2+y^2≦a^2）かつ(a>0)

回答No.1

info22_

この問題の積分の式は、半径aの球の上半分の体積を表すので、

V=∬[D:x^2+y^2≦a^2] √(a^2-x^2-y^2）dxdy=(4/3)π(a^3)*(1/2)=2π(a^3)/3

といっても積分を計算したいのであれば
x=r*cos(s),y=r*sin(s)で変数変換すれば良いでしょう。
D⇒D'={(r,s)|0≦r≦a,-π≦s≦π}、dxdy=rdrds

V=∫∫[D'] {√(a^2-r^2)}rdrds
=∫[-π,π]ds ∫[0,a] r*√(a^2-r^2)dr
=2π∫[0,a] r*(a^2-r^2)^(1/2)dr
=2π[(-1/2)(2/3)(a^2-r^2)^(3/2)] [r:0,a]
=2π(a^3)/3

となります。